2015 ACM多校训练第三场

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http://mlz000.github.io/2015/09/01/2015-ACM%E5%A4%9A%E6%A0%A1%E8%AE%AD%E7%BB%83%E7%AC%AC%E4%B8%89%E5%9C%BA/

题外话

尼玛颓废着颓废着就开学了= =无聊终于把第三场的题全补完了

hdu 5316(1001) Magician

Solution

线段树裸题，维护四个东西，以奇/偶开头奇/偶结尾的最大值，正常线段树合并即可。

Code

hdu 5317(1002) RGCDQ

Solution

水题，发现2×3×5×7×9×11×13×17>10000002\times 3\times 5\times 7\times 9\times 11\times 13 \times17>1000000，所以素因子种数最多为7个，前缀和统计一下即可

Code

hdu 5318(1003) The Goddess Of The Moon

Solution

水题，题目太长比赛没看= =，唯一的坑是要把数字去重，然后容易看出可以用矩阵乘法来递推

Code

hdu 5319(1004) Painter

Solution

简单模拟题，按题目要求一刷刷到底就可以了

Code

hdu 5320(1005) Fan Li

Solution

感觉这道题是个不错题，考虑以ii为开头的序列，gcdgcd如果发生变化一定至少除以22，所以不同的gcd区间最多也是log级的。可以预处理出所有的四元组(g,i,l,r)(g,i,l,r)，表示以ii为开头，结尾在[l,r][l,r]区间内gcdgcd为gg。

考虑dpdp，不妨考虑当前gcd=xgcd=x的方案数以及区间数，假设该四元组开头为ii,显然区间数是以结尾在[1,i−1][1,i-1]区间内的最大值+1+1，方案数也很好计算。容易发现用一个线段树就可以轻松维护了。

Code

hdu 5321(1006) Beautiful Set

Description

A的计算方法是：对于nn个数的某个排列，此排列的美丽值为这个排列所有的区间最大公约数之和。然后这个集合的美丽值为nn个数的所有排列的美丽值之和。

B的计算方法是：在nn个数中选出k(1≤k≤n)k(1 \le k \le n)个数，对于某种选取方案，这种方案的美丽值为kk个数的最大公约数乘上kk。然后这个集合的美丽值为所有选数方案的美丽值之和。

Solution

很容易想到用cnt[i]cnt[i]表示集合中ii的倍数个数

考虑第一个人

F1[x]F1[x]表示gcdgcd为xx的倍数的区间的个数

f1[x]f1[x]表示gcdgcd为xx的区间的个数

F1[x]=∑x|df1[d]F1[x]=\sum_{x|d}f1[d]

且F1[x]=∑cnt[x]j=1(cnt[x]j)×j!×(n−j+1)!F1[x]=\sum_{j=1}^{cnt[x]} \binom{cnt[x]}{j}\times j! \times (n-j+1)!

从cnt[x]cnt[x]里选jj个数，再把n−jn-j个数和这jj个数算做n−j+1n-j+1的排列

考虑第二个人

F2[x]F2[x]表示gcdgcd为xx的倍数的区间的个数

f2[x]f2[x]表示gcdgcd为xx的区间的个数

易知F2[x]=∑x|df2[d]F2[x] = \sum_{x|d}f2[d]

且F2[x]=∑cnt[x]j=1(cnt[x]j)×j=cnt[x]×2cnt[x]−1F2[x]= \sum_{j=1}^{cnt[x]} \binom{cnt[x]}{j}\times j = cnt[x]\times 2^{cnt[x]-1}

这个稍微推推就能推出来

同样的F2[x]=∑x|df2[d]F2[x] = \sum_{x|d}f2[d]

然后就是我们熟悉的莫比乌斯反演辣！

F(n)=∑n|df(d)F(n)=\sum_{n|d}f(d)

可以得到

f[n]=∑n|dμ(d/n)×F(d)f
=\sum_{n|d}\mu(d/n)\times F(d)

于是可以计算出ff，∑f[i]×i\sum f[i]\times i即是答案

Code

hdu 5322(1007) Hope

Solution

这题其实并不难，考虑dp[i]dp[i]为长度为ii的排列的答案，枚举这个排列最大值所在的位置，最大值左边和它都是联通的，于是我们可以得到转移方程

dp[i]=∑ij=1(i−1j−1)×(j−1)!×dp[i−j]×j2dp[i]=\sum_{j=1}^i \binom{i-1}{j-1}\times (j-1)!\times dp[i-j]\times j^2

稍加变换我们可以得到

dp[i]=(i−1)!×∑ij=1j2(i−j)!×dp[i−j]dp[i]=(i-1)!\times \sum_{j=1}^i \frac{j^2}{(i-j)!}\times dp[i-j]

令k=i−jk=i-j我们可以得到dp[i]=(i−1)!×∑i−1k=0(i−k)2k!×dp[k]dp[i]=(i-1)!\times \sum_{k=0}^{i-1}\frac{(i-k)^2}{k!}\times dp[k]

展开得dp[i]=(i−1)!×(i2−2ik+k2)×dp[k]k!dp[i]=(i-1)!\times (i^2-2ik+k^2)\times \frac{dp[k]}{k!}

维护三个前缀和即可O(N)解决，当然你可以没思维难度得想到cdq分治+NTT得做法QAQ

Code

hdu 5323(1008) Solve this interesting problem

Solution

考虑[l,r][l,r]是做左儿子还是右儿子，具体有44种情况，暴力枚举即可，实际上的复杂度是4114^{11}，完全可以接受

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hdu 5324(1009) Boring Class

Solution

三维最长不下降序列之类的题，很容易想到按idid算答案，rr这一维排序，ll这一维用树状数组维护然后cdq分治的经典做法。

考虑dpdp由于要字典序最小，先cdq分治算右区间的答案，考虑对左区间的影响即可。

写了不到8080行，轻松愉快，cdq分治真是个高大的姿势。。。爽

Code

hdu 5325(1010) Crazy Bobo

Solution

水题，按权值排序后，权值小的向大的连即可，dp一下就行了

Code

hdu 5326(1011) Work

Solution

水题，随便dfs就行了= =

Code

完结撒花！

继续补题！>_<