hdu 5418 Victor and World

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题解：

题意：一个人从第一个城市出发，要求把城市都走完最后回到现在城市，耗油量最少。

思路分析：由于城市可以重复访问，从而任何状态下，由城市i到城市j没有路径上的限制，故从城市i到城市j必然选择路程最小的路径来走，可先用Floyd算法求出任意两城市之间的最短路或最小花费，然后通过状压DP来求解。

数学模型：dp[i][v]表示在状态v下，到达城市i所用的最小花费。其中状态v用二进制数来表示，右起第i位表示第i个城市的状态，0为未拜访，1为已拜访。则状态转移方程为：

dp[i][v]=min(dp[i][v],dp[k][v^(1<<(i-1)]+map[k][i])

其中k从1到n依次取值来得到最小值，map[k][i]表示城市k到城市i的路程，^为异或运算，v^(1<<i-1)将v中第i位置0，即dp[k][v^(1<<(i-1)]表示未访问城市i的状态下，到达城市k的花费。

时间复杂度：设城市个数为n，Floyd预处理为O(n^3)，枚举各种状态的时间复杂度为O(2^n*n^2)，总的时间复杂度即为O(2^n*n^2)，相比于直接枚举的算法的时间复杂度O(n!)，已经有很大进步。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn 17
#define inf 0x3f3f3f3f
int Map[maxn][maxn],dp[maxn][1<<maxn|1],n;

void floyd()
{
    for(int k=1;k<=n;++k)
        for(int i=1;i<=n;++i)
            for(int j=1;j<=n;++j)
                if(Map[i][j]>Map[i][k]+Map[k][j])
                    Map[i][j]=Map[i][k]+Map[k][j];
}

int main()
{
    int T,x,y,z,i,j,k,m;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        memset(Map,inf,sizeof(Map));
        for(i=0;i<m;++i){
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            if(z<Map[x][y]) Map[x][y]=Map[y][x]=z;
        }

        floyd();
        memset(dp,inf,sizeof(dp));
        dp[1][1]=0;
        for(i=1;i<(1<<n);++i)   //依次枚举各种状态
            for(j=1;j<=n;++j)
            {
                if(i&(1<<(j-1)))   //枚举该状态下访问的顶点
                {
                    for(k=1;k<=n;++k)   //枚举访问的其它顶点
                        if(i&(1<<(k-1))&&j!=k)
                            dp[j][i]=min(dp[j][i],dp[k][i^(1<<(j-1))]+Map[k][j]);
                }
            }

        int ans=inf;
        for(i=2;i<=n;++i) ans=min(ans,dp[i][(1<<n)-1]+Map[i][1]);
        printf("%d\n",n==1?0:ans);
    }
    return 0;
}