【算法设计与数据结构】二分法解决最大值最小化问题——入门篇

问题描述

把一个包含n个正整数的序列划分成m个连续的子序列。设第i个序列的各数之和为S(i)，求所有S(i)的最大值最小是多少？

例子：

序列1 2 3 2 5 4划分为3个子序列的最优方案为 1 2 3 | 2 5 | 4，其中S(1),S(2),S(3)分别为6，7，4，那么最大值为7；

如果划分为 1 2 | 3 2 | 5 4，则最大值为9，不是最小。

解题思路

我们对问题做一些转化：

在一次划分中，求一个x，使得x满足：对任意的S(i)，都有S(i)<=x；这个条件保证了x是所有S(i)中的最大值。我们需要求的就是满足该条件的最小的x。

有了这个思路之后，我们继续分析如何找到这个x，首先，可以知道的是，max <= x <= sum。

接下来先是最朴素的想法：枚举每一个x，贪心地每次从左向右尽量多划分元素，但是S(i)不能超过x，而且划分的子序列个数不能超过m个（即所用划分线不能超过m-1条）

以上方法当然可行，但是每个x都遍历一次太浪费时间了。

问题经过转化，现在变成了在[max, sum]中间查找一个满足条件的x，查找的问题，相信大家对二分搜索并不陌生。这个时候，用二分搜索的思想来求x，效率一下子就上来了。

代码

int max = 元素中的最大值;
int sum = 所有元素之和; 

//是否能把序列划分为每个序列之和不大于x的m个子序列
bool is_part(int x) 
{
    //每次往右划分，划分完后，所用的划分线不大于m-1个即可
    int line = 0, s = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        if(s+A[i] > x)  //和大于x，不能再把当前元素加上了 
        {
            line++;     //加一条分隔线
            s = A[i];
            if(line > m-1)  //分隔线已经超过m-1条 
                return false; 
        }
        else
        {
            s+=A[i];    //把当前元素与前面的元素连上，以便尽量往右划分，贪心到底 
        }
    }
    return true;
}

int binary_solve()
{
    int l = max, r = sum; 
    while (l < r)
    {
        int m = l + (r-l)/2;
        if (is_part(m)) r = m;
        else l = m + 1;
    }
    return x;
}