【算法设计与数据结构】欧几里得算法、拓展欧几里得算法
2015-10-22 00:07
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欧几里得算法求最大公约数
[code]//递归版本 int gcd (int a, int b) { if (b == 0) return a; else return gcd(b, a%b); } //非递归版本 //辗转相除法 while (m % n) { int tmp = m; m = n; n = tmp % n; } return n; //更相减损法 while (n != m) { if (n > m) n = n - m; else m = m - n; } return n;
算法正确性
1.gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)2.b > a mod b
1保证了转换的正确性;2保证了算法的终止。
算法复杂度
递归次数:O(n)每次递归的计算量:O(n^2)
总复杂度:O(n^3)
**注意,在数论中,n一般表示的是数字的位数,而不是数字本身的值。
拓展欧几里得算法
拓展欧几里得定理:对于两个不全为0的整数a、b,必存在一组解x,y,使得ax+by==gcd(a,b)。[code]//通过拓展欧几里得算法求x,y以及gcd(a,b)的过程 int exgcd(int a, int b, int& x, int& y) { int d, t; if (b == 0) { x = 1; y = 0; return a; } d = exgcd(b, a%b, x, y); t=x; x=y; y=t-(a/b)*y; return d; }
算法分析
事实上,拓展欧几里得算法是在欧几里得算法的基础上加上求x,y而已,而其中是如何实现的呢?我们分析一下:[code] if (b == 0) { x = 1; y = 0; return a; }
由扩展欧几里得定理:ax+by==gcd(a,b),当求解到了最大公约数的时候,b==0,此时欧几里得算法求得gcd(a,0)==a。原式变为ax+by==a ,由于b=0,所以 x==1,y可以取任意值,一般取0。
[code] t = x; x = y; y = t-(a/b)*y;
一开始,式子为:a*x + b*y = d; ……(1)
当递归到下一层时,有:b*x1 + (a mod b)*y1 = d;
–>b*x1 + (a - (a/b)*b)*y1 = d;
–>a*y1 + b*(x1 - y1 * (a/b)) = d; ……(2)
通过对比(1)(2)式,可以得到以下对应关系:
x = y1;
y = x1 - y1 * (a/b);
**以上的除法为整型除法
对于一般的不定式ax+by==c,应如何求解?
先求解ax+by == gcd(a,b)
变换一下得:a*x*(c/gcd(a,b)) + b*y*(c/gcd(a,b)) = c;
则答案为:x=x*(c/gcd(a,b)), y=y*(c/gcd(a,b))
**拓展欧几里得算法的应用很广泛,接下来有空我会举一些例子~
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