第五章 随机事件及其概率

1 随机事件及其概率

试验、事件

随机事件（偶然事件）、必然事件、不可能事件

概率

2 概率的性质与运算法则

互斥事件：事件A和时间B不可能同时发生，P(A∪B)=P(A)+P(B) P(A∪B)=P(A)+P(B)
乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B) P(AB)=P(B)P(A|B)

当两个事件独立时，P(AB)=P(B)P(A) P(AB)=P(B)P(A)

一般情形，设n个事件A 1 ,A 2 ,...,A n A_1,A_2,...,A_n互不相容，P(A i )>(i=1,2,...,n) P(A_i)>(i=1,2,...,n),事件B满足：B⊂A 1 +A 2 +...+A n B\subset{A_1+A_2+...+A_n}，则

P(B)=∑ n i=1 P(A i )P(B|A i ) P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)

上式称为全概率公式。

全概率的直观意义是：某一事件B B的发生有各种可能的原因A i (i=1,2,...,n) A_i(i=1,2,...,n)，如果B B是由原因A i A_i所引起的，则B B发生的概率是P(A i B),(i=1,2,...,n) P(A_iB),(i=1,2,...,n)。每一A i A_i发生都可能导致B B发生相应概率是P(A i |B) P(A_i|B)，故B B发生的概率为：

P(B)==∑ n i=1 P(A i B)=∑ n i=1 P(A i )P(B|A i ) P(B)==\sum_{i=1}^{n}{P(A_iB)}=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)

与全概率公式解决的问题想法，贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，其公式叙述如下：

设n个事件A 1 ,A 2 ,...,A n A_1,A_2,...,A_n互不相容，P(A i )>(i=1,2,...,n) P(A_i)>(i=1,2,...,n),事件B满足：B⊂A 1 +A 2 +...+A n B\subset{A_1+A_2+...+A_n}，则

P(A i |B)=P(A i )P(B|A i )∑ n j=1 P(A j )P(B|A j ) P(A_i|B)=\dfrac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum_{j=1}^{n}P(A_j)P(B|A_j)}

3 离散型随机变量及其分布

期望

方差:σ²=D(X)=E[X-E(X)]²=E(X²)-[E(X)]²

二项分布：E(X)=np D(X)=npq

泊松分布：用来描述在一指定时间范围内或在指定的面积或体积之内某一事件出现的次数的分布

P(X)=λ n e −λ n! λ=0,1,2,... P(X)=\dfrac{\lambda^ne^{-\lambda}}{n!}\quad\quad\lambda=0,1,2,...

式中，λ \lambda为给定时间间隔内的事件的平均数

E(X)=λ，D(X)=λ

4 连续型随机变量的概率分布

1 概率密度 f(x)

2 分布函数

3 正态分布

正态分布的定义及特点

标准正态分布

正态分布表

3σ准则

|X-μ|>3σ的概率是很小的，可以认为X的值几乎一定落在区间(μ-3σ,μ+3σ)内，这在全面质量管理中称作“3σ准则”。

二项分布的正态近似