背包问题（课件内容（讲解，容易理解））

背包问题（课件内容（讲解，容易理解））

01背包：

题目
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
基本思路
这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

 

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

     算法：（伪代码，有助理解）
     

初始化：  f0
For(i=1  to  n)
{
for( j=1 to v )
{
f[i][j]=f[i-1][j];
if(j>=c[i])
{
f[i][j]=max{f[i-1][j] ,f[i-1][j-c[i]]+w[i]};
}
}
}

例子：5个物品，（重量，价值）分别为： （5，12），（4，3），
（7，10） ，（2，3），（6，6）
，背包的容量为15 ，求能装的最大价值。
 

背包容量	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
5物品	0	0	3	3	3	12	12	12	12	15	15	18	22	22	25	25
4物品	0	0	3	3	3	12	12	12	12	15	15	18	22	22	25	25
3物品	0	0	0	0	3	12	12	12	12	15	15	15	22	22	22	22
2物品	0	0	0	0	3	12	12	12	12	15	15	15	15	15	15	15
1物品	0	0	0	0	0	12	12	12	12	12	12	12	12	12	12	12

 
从下到上（行顺序），从右到左（列顺序）依次填充表格。以倒数第二行为例：此时仅有两个物品（物品1和物品2），当背包容量为15时，能装的最大的价值为15，当背包的容量为14的时候，背包能装的最大价值量为15……，直到背包容量为9，背包能装的最大价值量都为15。当背包容量为8时（此时只能放一个物品，由于物品1的体积为5，价值为12，而物品2的体积为4，价值为3，所以选择价值大的放入背包），背包能装的最大价值量为12，一直到背包容量为5。当背包容量为4时（只能放入物品2），此时背包能装的价值量3,。当背包容量小于4时，由于物品1和物品2的体积都大于等于4，所以物品1和物品2都不能放入背包，因而价值为0。
 
注意：每个空里填的都是，在当前可以选择的物品中，根据当前背包容量，使背包填充的价值最大。如：当填充物品3这一行表格时：物品1和物品2、物品3都可以选择，当背包容量为15时，此时填充，物品1（5，12）和物品2（7，10），填充价值最大为22.。

 

代码：
二维数组易于理解：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
int f[6][16];
int cos[6]={0,5,4,7,2,6};
int val[6]={0,12,3,10,3,6};
memset(f,0,sizeof(f));
for(int i=1;i<=5;i++)
{
for(int j=1;j<=15;j++)
{
f[i][j]=f[i-1][j];
if(j>=cos[i])
{
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-cos[i]]+val[i]);
}
}
}
for(int i=1;i<=5;i++)
{
for(int j=1;j<=15;j++)
printf("%d ",f[i][j]);
printf("\n");
}
printf("最大价值：%d\n",f[5][15]);

优化：将f数组转化为一维数组：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
int f[16];
int cos[6]={0,5,4,7,2,6};
int val[6]={0,12,3,10,3,6};
memset(f,0,sizeof(f));
for(int i=1;i<=5;i++)
{
for(int j=15;j>=1;j--)/*注意,这里j是从大到小进行的*/
{
if(j>=cos[i])
{
f[j]=max(f[j],f[j-cos[i]]+val[i]);
}
}
}
for(int i=1;i<=15;i++)
{
printf("%d ",f[i]);
}

}