ZeroOnePack - 01背包模板

From《背包九讲》，稍作修改。

题目:

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

基本思路:

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。


状态转移方程是： f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}，时间和空间复杂度均为O(N*V)


将其优化成一维数组的状态转移方程：f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}，时间复杂度没变，但是空间复杂度优化为O(V)

代码模板：

[code]for(int i=1;i<=n;i++)
{
    for(int j=V;j>=c[i];j--)
    {
        f[j] = max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);
    }
}

注意到第二个for是从V枚举到c[i]，目的是为了确保每件物品最多只能取一件，如果时间久了忘记为什么可以手动模拟操作一下。

初始化细节：

我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。 有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解， 有的题目则并没有要求必须把背包装满。



如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f
是一种恰好装满背包的最优解。

如果是第二种问法，并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f[0..V]全部设为0。



为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的（nothing）“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。

01背包是所有背包的基础，其他背包问题可以由其来转化。