数据结构之-堆

堆常用来实现优先队列，在这种队列中，待删除的元素为优先级最高（最低）的那个。在任何时候，任意优先元素都是可以插入到队列中去的，是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称

一、堆的定义

最大（最小）堆是一棵每一个节点的键值都不小于（大于）其孩子（如果存在）的键值的树。大顶堆是一棵完全二叉树，同时也是一棵最大树。小顶堆是一棵完全完全二叉树，同时也是一棵最小树。

注意：

堆中任一子树亦是堆。
以上讨论的堆实际上是二叉堆(Binary Heap)，类似地可定义k叉堆。

下图分别给出几个最大堆和最小堆的例子：

二、支持的基本操作

堆支持以下的基本操作:

build: 建立一个空堆；
insert: 向堆中插入一个新元素；
update：将新元素提升使其符合堆的性质；
get：获取当前堆顶元素的值；
delete：删除堆顶元素；
heapify：使删除堆顶元素的堆再次成为堆。

某些堆实现还支持其他的一些操作，如斐波那契堆支持检查一个堆中是否存在某个元素。

三、堆的应用

1.堆排序

堆排序(HeapSort)是一树形选择排序。

　堆排序的特点是：在排序过程中，将R[l..n]看成是一棵完全二叉树的顺序存储结构，利用完全二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系【参见二叉树的顺序存储结构】，在当前无序区中选择关键字最大(或最小)的记录。

优点直接选择排序中，为了从R[1..n]中选出关键字最小的记录，必须进行n-1次比较，然后在R[2..n]中选出关键字最小的记录，又需要做n-2次比较。事实上，后面的n-2次比较中，有许多比较可能在前面的n-1次比较中已经做过，但由于前一趟排序时未保留这些比较结果，所以后一趟排序时又重复执行了这些比较操作。

　堆排序可通过树形结构保存部分比较结果，可减少比较次数。

堆排序利用了大根堆(或小根堆)堆顶记录的关键字最大(或最小)这一特征，使得在当前无序区中选取最大(或最小)关键字的记录变得简单。

（1）、用大根堆排序的基本思想

先将初始文件R[1..n]建成一个大根堆，此堆为初始的无序区
再将关键字最大的记录R[1](即堆顶)和无序区的最后一个记录R
交换，由此得到新的无序区R[1..n-1]和有序区R
，且满足R[1..n-1].keys≤R
.key
由于交换后新的根R[1]可能违反堆性质，故应将当前无序区R[1..n-1]调整为堆。然后再次将R[1..n-1]中关键字最大的记录R[1]和该区间的最后一个记录R[n-1]交换，由此得到新的无序区R[1..n-2]和有序区R[n-1..n]，且仍满足关系R[1..n-2].keys≤R[n-1..n].keys，同样要将R[1..n-2]调整为堆。直到无序区只有一个元素为止。

（2）、大根堆排序算法的基本操作：

初始化操作：将R[1..n]构造为初始堆；
每一趟排序的基本操作：将当前无序区的堆顶记录R[1]和该区间的最后一个记录交换，然后将新的无序区调整为堆(亦称重建堆)。

注意：

只需做n-1趟排序，选出较大的n-1个关键字即可以使得文件递增有序。
用小根堆排序与利用大根堆类似，只不过其排序结果是递减有序的。堆排序和直接选择排序相反：在任何时刻，堆排序中无序区总是在有序区之前，且有序区是在原向量的尾部由后往前逐步扩大至整个向量为止。

（3）、算法实现

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//堆排序

template <class T>

void Sort::HeapSort(T arr[], int len){

int i;

//建立子堆

for(i = len / 2; i >= 1; i--){

CreateHeap(arr, i, len);

}

for(i = len - 1; i >= 1; i--){

buff = arr[1];

arr[1] = arr[i + 1];

arr[i + 1] = buff;

CreateHeap(arr, 1, i);

}

}

//建立堆

template <class T>

void Sort::CreateHeap(T arr[], int root, int len){

int j = 2 * root; //root's left child, right (2 * root + 1)

T temp = arr[root];

bool flags = false;

while(j <= len && !flags){

if(j < len){

if(arr[j] < arr[j + 1]){ // Left child is less then right child

++j; // Move the index to the right child

}

}

if(temp < arr[j]){

arr[j / 2] = arr[j];

j *= 2;

}else{

flags = true;

}

}

arr[j / 2] = temp;

}

2.选择前k个最大（最小）的数

思想：在一个很大的无序数组里面选择前k个最大（最小）的数据，最直观的做法是把数组里面的数据全部排好序，然后输出前面最大（最小）的k个数据。但是，排序最好需要O(nlogn)的时间，而且我们不需要前k个最大（最小）的元素是有序的。这个时候我们可以建立k个元素的最小堆(得出前k个最大值)或者最大堆(得到前k个最小值)，我们只需要遍历一遍数组，在把元素插入到堆中去只需要logk的时间，这个速度是很乐观的。利用堆得出前k个最大（最小）元素特别适合海量数据的处理。

代码：

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typedef multiset<int, greater<int> > intSet;

typedef multiset<int, greater<int> >::iterator setIterator;

void GetLeastNumbers(const vector<int>& data, intSet& leastNumbers, int k)

{

leastNumbers.clear();

if(k < 1 || data.size() < k)

return;

vector<int>::const_iterator iter = data.begin();

for(; iter != data.end(); ++ iter)

{

if((leastNumbers.size()) < k)

leastNumbers.insert(*iter);

else

{

setIterator iterGreatest = leastNumbers.begin();

if(*iter < *(leastNumbers.begin()))

{

leastNumbers.erase(iterGreatest);

leastNumbers.insert(*iter);

}

}

}

}

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