九度OJ 题目1081：递推数列


题目描述：

给定a0,a1,以及an=p*a(n-1) + q*a(n-2)中的p,q。这里n >= 2。 求第k个数对10000的模。

输入：

输入包括5个整数：a0、a1、p、q、k。

输出：

第k个数a(k)对10000的模。

样例输入： 20 1 1 14 5

样例输出： 8359

二.题目分析

看似简单的题，网网都有巧妙的设置，能够找到一种时间，空间最优的解法才是王道。在本题中，要是简单的找出第n个数，然后输出，当然不能这么简单，正解是快速矩阵幂！

通过对题目的分析，我们可以得到矩阵递推公式如下：



将公式右边推至a1,a0即可得：



然后这个题的关键就转化成了求[p q;1 0]的(k-1)次幂的问题。

接下来求矩阵的幂可以用快速幂运算来解决，这样就将O（n）的算法化简为了O(logn)的复杂度，如此一来就可以AC了。

三.代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

void MetrixMul(int p1[2][2],int p2[2][2])
{
int t[2][2];

t[0][0]=(p1[0][0]*p2[0][0]%10000+p1[0][1]*p2[1][0]%10000)%10000;
t[0][1]=(p1[0][0]*p2[0][1]%10000+p1[0][1]*p2[1][1]%10000)%10000;
t[1][0]=(p1[1][0]*p2[0][0]%10000+p1[1][1]*p2[1][0]%10000)%10000;
t[1][1]=(p1[1][0]*p2[0][1]%10000+p1[1][1]*p2[1][1]%10000)%10000;

p1[0][0]=t[0][0];
p1[0][1]=t[0][1];
p1[1][0]=t[1][0];
p1[1][1]=t[1][1];

}

void MetrixPow(int p[2][2],int n)
{
int t[2][2];

t[0][0]=p[0][0];
t[0][1]=p[0][1];
t[1][0]=p[1][0];
t[1][1]=p[1][1];

if(n==1)
return;

else if(n%2)
{
MetrixPow(p,n-1);
MetrixMul(p,t);
}
else
{
MetrixPow(p,n/2);
MetrixMul(p,p);
}
}

int main()
{
int a0,a1,p,q,k;
int pa[2][2];

while(scanf("%d%d%d%d%d",&a0,&a1,&p,&q,&k)!=EOF)
{
if(k==0)
{
printf("%d\n",a0%10000);
continue;
}
if(k==1)
{
printf("%d\n",a1%10000);
continue;
}

pa[0][0]=p%10000;
pa[0][1]=q%10000;
pa[1][0]=1;
pa[1][1]=0;

MetrixPow(pa,k-1);

printf("%d\n",(pa[0][0]*a1+pa[0][1]*a0)%10000);
}
return 0;

}