一道有趣的面试题

日前在网上看到一道面试题。颇有意思，也细细的研究一番。现将该题发布于此，和各位交流一下。

　　某幢大楼有100层。你手里有两颗一模一样的玻璃珠。当你拿着玻璃珠在某一层往下扔的时候，一定会有两个结果，玻璃珠碎了或者没碎。这幢大楼有个临界楼层。低于它的楼层，往下扔玻璃珠，玻璃珠不会碎，等于或高于它的楼层，扔下玻璃珠，玻璃珠一定会碎。玻璃珠碎了就不能再扔。现在让你设计一种方式，使得在该方式下，最坏的情况扔的次数比其他任何方式最坏的次数都少。也就是设计一种最有效的方式。

　　例如：有这样一种方式，第一次选择在60层扔，若碎了，说明临界点在60层及以下楼层，这时只有一颗珠子，剩下的只能是从第一层，一层一层往上实验，最坏的情况，要实验59次，加上之前的第一次，一共60次。若没碎，则只要从61层往上试即可，最多只要试40次，加上之前一共需41次。两种情况取最多的那种。故这种方式最坏的情况要试60次。

　　那该如何设计方式呢？

　　仔细分析一下，关键是第一次的选择，假设在第N层，如果第一次扔的时候就碎了，那么第二颗珠子只能是从第1层开始一层层往上试，此时，最坏的情况为N-1次，加上第一次，则一共为N层。那如果不碎呢，第二颗珠子会从N+1层开始试吗？很显然不会，此时大楼还剩100-N层，问题就转化为100-N，2颗珠子，请设计最有效方式。

　　哦，等等想到什么？呵呵，我想到递归

　　定义一个函数F（N），表示N层楼最有效方式最坏情况的次数。

　　通过上面的分析，有

　　F（N）=Min（Max（1，1+F（N-1）），Max（2，1+F（N-2）），……，Max（N-1，1+F（1）））

　　F（1）=1

　　本面试题就是求F（100）

　　下面把解法的代码赋予其后，用的是VB2005

　　

1         Dim F(100) As Integer, i As Integer, j As Integer
2         Dim tC As Integer
3         F(0) = 0
4         F(1) = 1
5
6         For i = 2 To 100
7             F(i) = 100
8             For j = i To 1 Step -1
9                 tC = IIf(j > 1 + F(i - j), i, 1 + F(i - j))
10                 If tC < F(i) Then F(i) = tC
11             Next
12         Next
13
14         For i = 1 To 100
15
16             Debug.Print(F(i))
17         Next

比较有意思的 评论

#1楼 2009-12-20
21:18 | HCOONa

没看明白楼主所谓的“最坏的方式”是什么含义……

这道题什么意思呢，折半查找？
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#2楼[楼主] 2009-12-20
21:40 | 万仓一黍

不会是折半，第一颗珠子碎了以后，第二颗珠子只能是从第一层开始层层往上试了
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#3楼 2009-12-20
22:18 | XeonWell

10
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#4楼 2009-12-20
22:34 | woka

最坏的情况为至少试探49次

第一次从50楼扔

若破了，从第一层开始试探，到第48层停止，因为如果前48层都没碎的话，临界层就一定是49了。往上同理。

两个珠子应该不用递归吧？最好的就是试探49次，其他都大于49次
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#5楼 2009-12-20
22:53 | winter-cn

第一颗珠子没碎还可以继续扔......
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#6楼 2009-12-20
23:11 | Jianqiang Bao

14次是正解。

当初就因为这道题没进去MS。

k-1,k-2,k-3直到0，相加，唉，不写下去了，越吻越伤心
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#7楼 2009-12-20
23:11 | Jianqiang Bao

绝对不是递归，而是一个一元二次方程
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#8楼 2009-12-20
23:53 | Cat Chen

看了一下思路，然后没看你的代码，立即打开Firebug用JavaScript写了一个：

执行f(100)之后，可以看到最多要试14次，首次尝试从9楼到14楼开始都是可以的。
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#9楼 2009-12-20
23:55 | Cat Chen

@包建强

如何一元二次法？
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#10楼 2009-12-21
00:23 | hoodlum1980

扔1次的话，就是从1层开始扔了。没有技巧可言。

扔两次：所以：

1+2+3+4+5+。。。+ N >= 100;

N=？
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#11楼 2009-12-21
00:30 | Jianqiang Bao

逻辑如下：

假设第1个球在第k层摔：

要么摔碎，那么第2个球还要从第1层到第k-1层摔k-1次。2个球一共摔了k次。

要么摔不碎，那么第1个球要在哪一层摔呢？假设是M层，如果摔碎了，那么第一个球摔了2次，为了保持与上一种情况（摔了k次）相等的可能性，第2个球从k+1层到M层最多摔k-2次，那么k层到M层的距离是k-2。

如果第一个球还没摔碎，那么接下来又要在第N层摔，如果摔碎了，那么那么第一个球摔了3次，为了保持与上一种情况（摔了k次）相等的可能性，第2个球从M+1层到N层最多摔k-3次，那么k层到M层的距离是k-3。

以此类推，直到距离为0（最后一次），把这些距离相加，应该等于总距离100，即(k-1)+(k-2)+(k-3)+……+0 =100。计算得到k=14。

就是说：

第1个球在第14层摔，如果碎了，第2个球最多摔13次（摔到第13层），两个球共计摔14次。

如果没碎，往下数13层，第一个球在第27层摔，如果碎了，那么第2个球从15层开始摔，最多摔12次（摔到第26层），这样第一个球摔了2次，第2个球摔了12次，合计14次。

以此类推，如果很不巧，第一个球在第39层、第50层、第60层、第69层、第77层、第84层、第90层、第95层、第99层都没有摔碎，那么在第100层肯定还要摔最后一次，以确定第100层是否会摔碎。

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#12楼 2009-12-21
03:10 | trylife[未注册用户]

刷新一看已经看了2个半小时多鸟，，，

#13楼 2009-12-21
07:35 | 徐少侠

又学到一招

哈哈

这个题的确有点意思
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#14楼 2009-12-21
09:10 | egmkang

动态规划,不知道以前在哪个地方看到过
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#15楼 2009-12-21
09:12 | 生鱼片

这种在大学的时候肯定比现在作的快
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#16楼 2009-12-21
09:18 | Old

@包建强

学习了！太有意思了！
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#17楼 2009-12-21
09:22 | Old

我第一反应是：

第一个球：

1，3，5...99

如果当前球在N层摔坏了，那么第二个球就从N-1扔。

哈哈，最坏情况要51次。
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#18楼 2009-12-21
09:28 | lilac123[未注册用户]

两个都从最低层扔，知道摔碎，这才是解答，程序员就是要用最简单的方式解决最复杂的问题

#19楼 2009-12-21
11:12 | ExtAspNet追随者

什么意思啊，，
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#20楼 2009-12-21
11:29 | 一滴water

递归方法是正确的，只是效率存在问题，实际上是遍历了两个变量，一个是摔坏的层数，二个是选择在哪层摔的层数。

一元二次方程建模建的好，首先考虑两个问题:

(1)假定要摔的层数（是有规律还是无规律）

(2)假定了最坏次数的情况k

通过建模效率自然更高。
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#21楼 2009-12-21
12:10 | midnight

@Cat Chen

执行f(100)之后，可以看到最多要试14次，首次尝试从9楼到14楼开始都是可以的。

从 14楼开始

14,28,42,56,70,84,98

最坏情况是到98楼碎了,所以是7+14 =21

最好是从10楼开始,最坏情况要19次

int F = 100;

int temp = 0;

Dictionary<int, int> sum = new Dictionary<int, int>();

for (int i = 1; i < F; i++)

{

int tager = F / i + i;

if (F % i == 0) tager -= 1;

sum.Add(i, tager);

if (temp == 0) temp = tager;

else if (tager > temp)

{

Console.WriteLine("开始层:{0} / 次数{1}", (i-1).ToString(), temp.ToString());

break;

}

else temp = tager;

}
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#22楼 2009-12-21
12:12 | midnight

PS:俺代码有点乱
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#23楼 2009-12-21
12:15 | gxh9731[未注册用户]

没明白啥意思,题表述没清楚

#24楼[楼主] 2009-12-21
12:18 | 万仓一黍

@midnight

第一次在14楼，第二次并不在28楼，而是14+13=27楼，第三次是14+13+12=39楼。

故14次是正解

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#25楼 2009-12-21
12:37 | czjone

@Old 要是我就会用1,4,7 <100这样的最坏的次数也就是在30多次~~~

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#26楼 2009-12-21
12:38 | czjone

LZ，我还是觉得用1,4,7 <100 最多就用33次~
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#27楼 2009-12-21
12:58 | Cat Chen

在我的程序里把maxTries和testFloor打印出来，大家就能看到明显的规律。maxTries是这样一个数组：

[0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, ...]

显然这是可以用通式算出来的，只要看看f(10)的结果，就能找通式算f(100)，不再需要依赖于递归。
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#28楼[楼主] 2009-12-21
13:23 | 万仓一黍

@Cat Chen

这有一个问题。虽然从前几项能看出计算公式来。可是，除非你证明这个公式的正确性，否则是不能用的，在数学上，这个称局部不能代表全局。就像哥德巴赫猜想，人们用计算机已经验证了前N（N是一个很大的数，我没有记住）项正确的，但一直不能宣称这个猜想是这确的。而递归就解决这个问题。
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#29楼 2009-12-21
13:29 | Cat Chen

@万仓一黍

这就容易喇，这么明显的规律，通常一个数学归纳法能够搞掂。
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#30楼[楼主] 2009-12-21
14:18 | 万仓一黍

@Cat Chen

还真不容易，我试过证明，用归纳法没有成功
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#31楼 2009-12-21
14:45 | gxh973121

为什么不用折半法呢,不到10次就能出来
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#32楼 2009-12-21
15:00 | 漫笔者

我也觉的折半算法要快一些，类似快速排序吧

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#33楼[楼主] 2009-12-21
15:19 | 万仓一黍

折半是找不出来的

第一颗在50层楼的话，如果摔碎了。第二颗只能是从一楼开始，最坏的情况为49次加上前面一次，一共50次，10次是到不了的
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#34楼 2009-12-21
16:39 | hoodlum1980

彻底无语！
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#35楼 2009-12-21
17:52 | szyicol

这样的题目，一开始没头绪，强。
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#36楼 2009-12-21
17:53 | gxh973121

引用
万仓一黍：

折半是找不出来的

第一颗在50层楼的话，如果摔碎了。第二颗只能是从一楼开始，最坏的情况为49次加上前面一次，一共50次，10次是到不了的

刚理解题目意思,关键是只有从第二颗只能从第一层开扔
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#37楼 2009-12-22
08:59 | NICHOLAS.SUN2[未注册用户]

题目是要求你设计一种方式，而好多留言只给出14次，，，你淫了！

#38楼 2009-12-22
09:04 | NICHOLAS.SUN2[未注册用户]

而且题目没说明一定要找出临界层来，那么以下这种方式是不是比任何一种方式都要少呢，100，99 仅二次

#39楼 2009-12-22
12:34 | 麻将

x+(x-1)+(x-2)+(x-3)+....+1=100

这样算可以不？
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#40楼 2009-12-22
14:14 | hsj2010

引用
包建强：

逻辑如下：

假设第1个球在第k层摔：

要么摔碎，那么第2个球还要从第1层到第k-1层摔k-1次。2个球一共摔了k次。

要么摔不碎，那么第1个球要在哪一层摔呢？假设是M层，如果摔碎了，那么第一个球摔了2次，为了保持与上一种情况（摔了k次）相等的可能性，第2个球从k+1层到M层最多摔k-2次，那么k层到M层的距离是k-2。

如果第一个球还没摔碎，那么接下来又要在第N层摔，如果摔碎了，那么那么第一个球摔了3次，为了保持与上一种情况（摔了k次）相等的可能性，第2个球从M+1层到N层最多摔k-3次，那么k层到M层的距离是k-3。

以此类推，直到距离为0（最后一次），把这些距离相加，应该等于总距...

做个假设 第一次 14 破了，可以在第二楼开始仍。如果破了那肯定是第一楼。 如果没破 那就从第2楼一直到第12楼仍，如果都没破那么就是第13楼

共仍了1+11=12次
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#41楼[楼主] 2010-01-27
14:53 | 万仓一黍

@海岸线

其实本题隐含如下信息。

第二颗珠子如果在第二层摔碎。问题就来了。

第一层可能是临界楼层，在第一层摔不碎

第一层可能不是临界楼层，在第一层就摔碎了，临界楼层是0层

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#42楼 2010-01-27
15:39 | 海岸线

@万仓一黍

正解，刚才想错了
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#43楼 2011-03-05
10:44 | 溪云初起

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#44楼 2015-05-22
11:37 | 祝文庄庄主

虽说是老帖，还是收益良多，回复表示感谢。

RE: http://www.cnblogs.com/grenet/archive/2009/12/20/1628425.html
评论挺有意思的，所以就一起贴过来了。