基本算法复习之递归：经典问题举例

递归程序要素：输入、出口条件、递归执行体、中间变量的存储以及返回值。

递归优劣：算法简洁明了，但是递归次数过多时可能导致堆栈溢出，而且不好的递归算法存在重复计算问题。

递归举例：

1.如下图，求从节点A到K的所有路径总数，路径只能从上往下，并且只能从某个节点到相距这个节点最近的下一行节点。

//line、clumn从1开始
int pathsToNode(int line, int column)
{
if(line<=0 || column<=0 || column>line)
return 0;
if(column==1||column==line)
return 1;
return pathsToNode(line-1, column-1)+pathsToNode(line-1, column);
}

2.翻牌问题

问题描述：

有52张扑克牌，使它们全部正面朝上。从第二张牌开始，把凡是2的倍数的位置上的牌翻成正面朝下：接着从第三张牌开始，把凡是3 的倍数位置上的正面朝上的牌翻成正面朝下，正面朝下的翻成正面朝上，接着从第四张牌开始，把凡是4的倍数位置上的牌按此规律翻转。依此类推，直到第1张要翻的是第52张牌为止。统计最后有几张牌正面朝上，并打印出它们的位置。

/*设牌正面朝上为0，反面朝上为1
n为第一张要翻的序号,2 <= n <= 52*/

int cards[52];

void turnOverCards(int n)
{
if(n>52)
return;
for(int i=n;i<53;i+=n)
{
if(cards[i-1])
cards[i-1]=0;
else
cards[i-1]=1;
}
turnOverCards(n+1);
}

int main(int argc, const char * argv[])
{
for(int i=0;i<52;i++)
cards[i]=0;
turnOverCards(2);
printf("翻牌结束之后正面朝上的牌序号为：\n");
int count=0;
for(int i=0;i<52;i++)
{
if(!cards[i])
{
count++;
printf("%3d",i+1);
}
}
printf("\n总计%d张\n",count);
return 0;
}

3.整数划分问题

问题描述：给定一个正整数n，将其分解为若干个正整数之和，即n = k1 + k2 + k3 + … kj + …，其中 n >= kj-1 >= kj > 0。

int partNK(int n, int k)    //n为待划分的整数，k为划分后的个整数中最大的那个，k可以是n本身
//函数返回的是划分的种数
{
if(n < 1 || k < 1)            //不符合划分的定义
return 0;
if(n == 1 || k == 1)          //这种情况下只有一种，即1或1+1+1+⋯+1
return 1;
if(n < k)                     //根据定义，k不可能大于n
return p(n, n);
if(n == k)                    //最大的加数先是n，然后是n-1，一直递归到1+1+⋯+1为止
return (p(n, k - 1) + 1);
return (p(n, k-1) + p(n-k, k));//返回划分种数
}

int partN(int n)
{
return partNK(n, n);
}

4. m，n组合问题

问题描述：

给定两个正整数n和m，从数列1,2,3,…….n中随意去几个数，使其和等于m，要求将其中所有可能的组合列出来。

解法：
采用0-1背包的思想，把n看成n个背包，每个包装的东西“重量”为1，2，3，…，n，不装东西时重量为0。那么，原问题就转化成从这n个包里面选出若干个使其重量为m。考察某一个包，有两种情况：
(1)当选择n时，就用剩下的n-1填满 m-n；

(2)当不选择n时，就用剩下的n-1填满m。

上面的过程是一个递归的过程，出口：当m=n时，即找到了一个符合条件的解。

int length;        //length就是n的值
void printSolutions(int *flag)
{
for (int i=length-1; i>=0; i--)
{
if (flag[i] == 1)
{
printf("%d ",i+1);
}
}
printf("\n");
}

void BagProblem(int m, int n, int *flag)
{
if(n<1 || m<1)
return;
if(n>m)
n = m;
if (n == m)
{
flag[n-1] = 1;
printSolutions(flag);//输出结果，找到一种就输出一次
flag[n-1] = 0;       //输出之后立马清零，以免影响其他方案的输出
}
//若选择了n
flag[n-1] = 1;
putinBag(m-n, n-1, flag);

//若不选择n
flag[n-1] = 0;
outinBag(m, n-1, flag);
}

5. 字符串全排列

void permutation_Iterate(char *s, char *begin)
{
if(*begin == '\0')
{
printf("%s\n",s);
return;
}
for(char *p = begin; *p != '\0'; p++)
{
char temp=*p;
*p = *begin;
*begin = temp;

permutation_Iterate(s, begin+1);

temp=*p;
*p = *begin;
*begin = temp;
}
}

void permuation(char *s)
{
if(s == NULL)
return;
permutation_Iterate(s, s);
}

6. Fibonacci数列

递推式：F(n) = F(n-2) + F(n-1)，n >= 2。F(0) = 0，F(1) = 1。

方法一：采用递归算法

int fib(n)
{
if(n <= 0)
return 0;
if(n==1)
return 1;
return fib(n-1) +fib(n-2);
}

但是上面的方法每计算一次F(n)也会重新计算F(n-2)与F(n-1)，共有(n-2)次冗余计算。下面是改进的方法，不用递归，而把F(n-2)与F(n-1)缓存起来以供后用。

方法二：

int fib2(unsigned int n)
{
if(n <= 0)
return 0;
if(n==1)
return 1;

int preFib2=0, preFib1=1, nowFib;
for(int i=0; i<n-1; i++)
{
nowFib=preFib2+preFib1;
preFib2=preFib1;
preFib1=nowFib;
}
return nowFib;
}