递推思想

本文借鉴：/article/1356644.html

像俺一样奋斗在一线的码农们，一谈到学编程，都是说要学会XX语言就OK了，其实我们理解的有一点点的偏差，因为我们只说到了

三分之一，其实真正的编程应该是：编程=数据结构+算法+XX语言。

对的，XX语言只是一个工具而已，就好比我们知道用笔来写字，但是不见得我们就能写出一手让张恨水为之倾倒的好字，其实我也说过

算法不仅仅用于程序设计中，在我们的生活中也处处存在着算法，比如记得我大二学C#的时候，无聊的我们就出了个猜美女芳龄的问题。

[java] view
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@Test

public void testMeiMei() {

Random random = new Random();



Scanner scanner = new Scanner(System.in);

int mm = random.nextInt(17) + 16;



int guess = 0;



int count = 0;



System.out.println(mm + "现有一美女，请猜她的芳龄(16,32)\n");



do {

System.out.println("请输入你认为正确的年龄：\t");



try {

guess = scanner.nextInt();

} catch (Exception e) {

return;

}

if (guess < mm)

System.out.println("低了!\n");



if (guess > mm)

System.out.println("高了！\n");



if (guess == mm)

System.out.println("恭喜，猜对了！\n");



count = count + 1;



} while (mm != guess);



System.out.println("你一共猜了：\t" + count + "次");



}

针对这个问题，大家如何 “又快又稳” 的猜出mm的芳龄呢？如果是一个不懂算法的人，估计就是一个for循环进行查找，但是这个的复杂度是O(n)。

那么懂算法的人就会利用年龄有序这个特点进行"二分查找“，这个复杂度就是log2N，所以说学算法，懂算法可以给我们实际应用中带来更好的解决方案。



好了，不扯了，今天主要讲的是“递推思想”。

一： 概念

通过已知条件，利用特定关系逐步递推，最终得到结果为止，核心就是不断的利用现有信息推导出新的东西。



二：分类

当然递推中有两种，“顺推”和“逆推“

顺推：从条件推出结果。

逆推：从结果推出条件。

呵呵，是不是觉的有一种policeman破案的感觉。



三： 举例

<1> 顺推的例子

上过大学的应该都知道著名的“斐波那契”数列吧，说的是繁殖兔子的问题，题目我就大概说一下。

如果1对兔子每月能生1对小兔子，而每对小兔在它出生后的第3个月就可以生1对小兔子，如果从1对初生的小兔子开始，1年后能

繁殖多少兔子？

思路：其实这个问题我们可以将兔子划分为“1月大的兔子“，”2月大的兔子“，”3月大的兔子“。

① 初始时： 一对1月大小兔子，总数为1对。

② 第一个月： 1月大的小兔子变成2月大的兔子，总数还是1对。

③ 第二个月： 2月大的小兔子变成3月大的兔子，繁殖了一对小兔子，总数为2对。

④ 第三个月： 3月大的兔子tmd有生了一对小兔子，上个月1月大的小兔子变成了2月大的兔子，总数为3对。

...... ......

F0=1

F1=1

F2=F0+F1

F3=F1+F2

......

Fn=Fn-2+Fn-1



大家看看，是不是体现了”递推“的核心思想，代码也很简单。

[java] view
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@Test

public void feibonaqie() {

int month = 12;

int[] f = new int[month];

f[0] = 1;

f[1] = 1;



for (int i = 2; i < month; i++) {

f[i] = f[i - 2] + f[i - 1];

}



for (int i = 0; i < month; i++) {

System.out.println("第 " + i + " 个月，兔子总数：" + f[i]);

}

}



测试结果：

[html] view
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第 0 个月，兔子总数：1

第 1 个月，兔子总数：1

第 2 个月，兔子总数：2

第 3 个月，兔子总数：3

第 4 个月，兔子总数：5

第 5 个月，兔子总数：8

第 6 个月，兔子总数：13

第 7 个月，兔子总数：21

第 8 个月，兔子总数：34

第 9 个月，兔子总数：55

第 10 个月，兔子总数：89

第 11 个月，兔子总数：144



<2> 逆推的例子

这个一个关于存钱的问题，一个富二代给他儿子的四年大学生活存一笔钱，富三代每月只能取3k作为下个月的生活费，采用的是整存零取的方式，

年利率在1.71%，请问富二代需要一次性存入多少钱。



思路: 这个题目是我们知道了结果，需要逆推条件， 第48月富三代要连本带息的把3k一把取走，那么

第47月存款应为： (第48个月的存款+3000)/(1+0.0171/12(月))；

第46月存款应为： (第47个月的存款+3000)/(1+0.0171/12(月));

..... .....

第1个月存款应为: (第2个月的存款+3000)/(1+0.0171/12(月));



[java] view
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@Test

public void deposit() {

int month = 49;

double[] f = new double[month];

f[48] = 3000d;

double monthRate = 1.71 / 100 / 12;



for (int i = 47; i > 0; i--) {

f[i] = (f[i + 1] + 3000) / (1 + monthRate);

}

for (int i = 48; i > 0; i--) {

System.out.println("第 " + i + " 个月，本息总额：" + f[i]);

}

}



[html] view
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第 48 个月，本息总额：3000.0

第 47 个月，本息总额：5991.462166412862

第 46 个月，本息总额：8978.667565132548

第 45 个月，本息总额：11961.622253421421

第 44 个月，本息总额：14940.332279922532

第 43 个月，本息总额：17914.803684671875

第 42 个月，本息总额：20885.04249911064

第 41 个月，本息总额：23851.054746097452

第 40 个月，本息总额：26812.846439920566

第 39 个月，本息总额：29770.423586310073

第 38 个月，本息总额：32723.792182450085

第 37 个月，本息总额：35672.95821699087

第 36 个月，本息总额：38617.92767006103

第 35 个月，本息总额：41558.706513279605

第 34 个月，本息总额：44495.300709768184

第 33 个月，本息总额：47427.716214163

第 32 个月，本息总额：50355.958972627006

第 31 个月，本息总额：53280.03492286193

第 30 个月，本息总额：56199.94999412031

第 29 个月，本息总额：59115.71010721753

第 28 个月，本息总额：62027.3211745438

第 27 个月，本息总额：64934.789100076196

第 26 个月，本息总额：67838.11977939056

第 25 个月，本息总额：70737.31909967352

第 24 个月，本息总额：73632.3929397344

第 23 个月，本息总额：76523.34717001712

第 22 个月，本息总额：79410.18765261215

第 21 个月，本息总额：82292.92024126834

第 20 个月，本息总额：85171.55078140483

第 19 个月，本息总额：88046.0851101229

第 18 个月，本息总额：90916.5290562178

第 17 个月，本息总额：93782.88844019052

第 16 个月，本息总额：96645.1690742597

第 15 个月，本息总额：99503.37676237331

第 14 个月，本息总额：102357.5173002205

第 13 个月，本息总额：105207.59647524328

第 12 个月，本息总额：108053.6200666483

第 11 个月，本息总额：110895.59384541858

第 10 个月，本息总额：113733.52357432517

第 9 个月，本息总额：116567.41500793885

第 8 个月，本息总额：119397.27389264184

第 7 个月，本息总额：122223.10596663937

第 6 个月，本息总额：125044.91695997141

第 5 个月，本息总额：127862.71259452422

第 4 个月，本息总额：130676.49858404195

第 3 个月，本息总额：133486.2806341383

第 2 个月，本息总额：136292.064442308

第 1 个月，本息总额：139093.85569793844