询问区间第k大（小）——主席树

例题

K-th Number

You are working for Macrohard company in data structures department. After failing your previous task about key insertion you were asked to write a new data structure that would be able to return quickly k-th order statistics in the array segment.

That is, given an array a[1…n] of different integer numbers, your program must answer a series of questions Q(i, j, k) in the form: “What would be the k-th number in a[i…j] segment, if this segment was sorted?”

For example, consider the array a = (1, 5, 2, 6, 3, 7, 4). Let the question be Q(2, 5, 3). The segment a[2…5] is (5, 2, 6, 3). If we sort this segment, we get (2, 3, 5, 6), the third number is 5, and therefore the answer to the question is 5.

题目大意

给出一个序列a1,a2...an，有若干个询问，每个询问形如(l,r,k)，询问l到r的第k大是多少

直观想法

我们可以用前缀和，建出n棵线段树，第i棵线段树涵盖了1~i区间的数的信息，每次的询问只需要用第r棵线段树的信息减去第l−1棵线段树的信息，然后直接查找就好了，伪代码如下：

//离散化
i=1 -> n
j=1 -> i-1
change(i,1,1,n,ask(a[j]));
//ask()是用二分找出a[j]在离散化后的序列的位置

然而，这样的时间与空间复杂度并不如人意，时间复杂度O(n2log2n)，空间复杂度O(n2log2n)，简直不如暴力。

怎么办？

主席树！！！

我们通过观察发现第i棵线段树与第i−1棵线段树不同的只有log2n个点的信息，于是我们可以只存下有有用信息的点，在建第i棵线段树时，借用第i−1棵线段树的与i棵线段树相同的信息，这就是主席树。

缺点

然而，这样建主席树的方法不可以支持修改操作，可修改的主席树将在后面的博客中讲。

下面附一下代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

#define maxn 100005
#define maxm 1800005
#define lp left[p]
#define lq left[q]
#define rp right[p]
#define rq right[q]
#define sp sum[p]
#define sq sum[q]
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)

using namespace std;

int n,m,tot,left[maxm],right[maxm],sum[maxm],root[maxn],a[maxn],id[maxn],b[maxn];

bool cmp(int x,int y)
{
return a[x]<a[y];
}

void add(int &p,int q,int l,int r,int v)
{
p=++tot;
sp=sq+1;
lp=lq;
rp=rq;
if (l==r) return;
int mid=(l+r)/2;
if (v<=mid) add(lp,lq,l,mid,v);else add(rp,rq,mid+1,r,v);
}

int query(int p,int q,int l,int r,int v)
{
if (l==r) return l;
int mid=(l+r)/2;
if (sum[lq]-sum[lp]>=v) return query(lp,lq,l,mid,v);
return query(rp,rq,mid+1,r,v-sum[lq]+sum[lp]);
}

int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
fo(i,1,n) scanf("%d",&a[i]);
fo(i,1,n) id[i]=i;
sort(id+1,id+n+1,cmp);
int size=1;
fo(i,2,n) {
if (a[id[i]]!=a[id[i-1]]) b[++size]=a[id[i]];
a[id[i]]=size;
}
b[1]=a[id[1]];
a[id[1]]=1;
root[0]=0;tot=0;
fo(i,1,n) add(root[i],root[i-1],1,size,a[i]);
fo(i,1,m) {
int l,r,k;
scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);
printf("%d\n",b[query(root[l-1],root[r],1,size,k)]);
}
return 0;
}