简单探讨全排列的递归生成算法
2015-08-12 17:29
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在研究组合数学的时候,常常能够碰见要求生成全排列的情况。下面来简单探讨全排列的递归生成算法。
现有一个序列(1,2,3),将其命名为序列S<a1,a2,a3>, 假定A(a1,a2,a3) 为这个序列的全排列,那么我们可以得到如下若干序列:
<a1,A(a2,a3)> ①
<a2,A(a1,a3)> ②
<a3,A(a1,a2)> ③
我们再来看①,她还可以展开成如下两个序列:
<a1,a2,A(a3)> ⑤
<a1,a3,A(a2)> ⑥
那么⑤也就等价于下面这个序列:
<a1,a2, a3> ⑦
同理,①②③全部展开的时候可以得到6个序列。
如果是序列是n个元素的话,那么可以展开得到n!个序列。
由⑤→⑦我们就容易观察出,当A排列被不断地缩小至只有一个元素的时候,就得到了S序列的全排列中的一个。
其次,同时观察⑤⑥两式的时候,我们可以得到两式的最后两个元素其实是互相交换的关系。
那么到这一步我们也就不难得到递归代码了。
但是,仅仅是上面的思想并不能很完美的解决全排列的问题,数学上讲求互异性,上面的思想在一个所有元素均互异的序列里能得到完美的结果,但是如果序列不能保证所有元素互异,那么就会产生重复的序列了,这显然不够优美!
如何改进呢?
前面说到只有在序列中存在相同元素的时候,上面的思想才会产生重复的序列,那么是在哪一步出的问题呢?
请注意到在上述的①式展开变到⑤式和⑥式的时候,假设a1和a2相等,那么⑤式和⑥式只要输出其一即可了。
所以呢,在产生全排列A(ai,ai+1,...,aj-1)的时候,如果有aj和ak,(i<=k<j)相等,那么A(ai,ai+1,...,aj)里就必有重复序列!
比如,对于输入的1,3,2,会输出下一个字典序排列2,1,3
算法的大致思路如下:
(1)对于输入的字典许排列<a1,a2,…,an>,反向查找第一对满足a[j]<a[j+1]的下标j
(2)仍旧反向查找一个下标k,使得 a[j]<a[k]并且a[k]=min{a[t] | any t, a[j]<a[t]}
(3)交换a[j]和a[k]
(4)使得a[i+1..n]按递增排列
说完思路,重点是分析。
第一步是根据字典序定义进行的。
而在找到满足条件的j后,有一个隐藏的性质,即:a[j+1..n]是(非严格)单调递减排列的,这点可以由反证法结合第一步导出矛盾来证明。所以第二部中只需要查找第一个满足条件的k,也满足了最小值原则。
在第四步中,由于上面逆序条件可知,递增排列性质只需要逆置a[j+1..n]即可。
接下来考虑两个意外情况:(1)元素重复 (2)输入已经是最后一个字典序排列
其实第一个问题已经得到了解决,因为第一步中我们要满足的条件是严格的小于。并且因为这个断言,我们在第二步中查找满足条件的k时,是一定可以找到这样的k的
第二个问题比较隐蔽,如果输入已经是最后一个字典序,亦即是一个单调递减排列,那么第一步会直接越界。解决方法只需要简单保证j非负即可。
另外,如果要用这个算法产生全排列,那么只需要保证输入排列是第一个字典序,即单调递增排列即可。
现有一个序列(1,2,3),将其命名为序列S<a1,a2,a3>, 假定A(a1,a2,a3) 为这个序列的全排列,那么我们可以得到如下若干序列:
<a1,A(a2,a3)> ①
<a2,A(a1,a3)> ②
<a3,A(a1,a2)> ③
我们再来看①,她还可以展开成如下两个序列:
<a1,a2,A(a3)> ⑤
<a1,a3,A(a2)> ⑥
那么⑤也就等价于下面这个序列:
<a1,a2, a3> ⑦
同理,①②③全部展开的时候可以得到6个序列。
如果是序列是n个元素的话,那么可以展开得到n!个序列。
由⑤→⑦我们就容易观察出,当A排列被不断地缩小至只有一个元素的时候,就得到了S序列的全排列中的一个。
其次,同时观察⑤⑥两式的时候,我们可以得到两式的最后两个元素其实是互相交换的关系。
那么到这一步我们也就不难得到递归代码了。
但是,仅仅是上面的思想并不能很完美的解决全排列的问题,数学上讲求互异性,上面的思想在一个所有元素均互异的序列里能得到完美的结果,但是如果序列不能保证所有元素互异,那么就会产生重复的序列了,这显然不够优美!
如何改进呢?
前面说到只有在序列中存在相同元素的时候,上面的思想才会产生重复的序列,那么是在哪一步出的问题呢?
请注意到在上述的①式展开变到⑤式和⑥式的时候,假设a1和a2相等,那么⑤式和⑥式只要输出其一即可了。
所以呢,在产生全排列A(ai,ai+1,...,aj-1)的时候,如果有aj和ak,(i<=k<j)相等,那么A(ai,ai+1,...,aj)里就必有重复序列!
比如,对于输入的1,3,2,会输出下一个字典序排列2,1,3
算法的大致思路如下:
(1)对于输入的字典许排列<a1,a2,…,an>,反向查找第一对满足a[j]<a[j+1]的下标j
(2)仍旧反向查找一个下标k,使得 a[j]<a[k]并且a[k]=min{a[t] | any t, a[j]<a[t]}
(3)交换a[j]和a[k]
(4)使得a[i+1..n]按递增排列
说完思路,重点是分析。
第一步是根据字典序定义进行的。
而在找到满足条件的j后,有一个隐藏的性质,即:a[j+1..n]是(非严格)单调递减排列的,这点可以由反证法结合第一步导出矛盾来证明。所以第二部中只需要查找第一个满足条件的k,也满足了最小值原则。
在第四步中,由于上面逆序条件可知,递增排列性质只需要逆置a[j+1..n]即可。
接下来考虑两个意外情况:(1)元素重复 (2)输入已经是最后一个字典序排列
其实第一个问题已经得到了解决,因为第一步中我们要满足的条件是严格的小于。并且因为这个断言,我们在第二步中查找满足条件的k时,是一定可以找到这样的k的
第二个问题比较隐蔽,如果输入已经是最后一个字典序,亦即是一个单调递减排列,那么第一步会直接越界。解决方法只需要简单保证j非负即可。
另外,如果要用这个算法产生全排列,那么只需要保证输入排列是第一个字典序,即单调递增排列即可。
#include <cstdio> #include <algorithm> #include <iostream> using namespace std; /*最简单的版本,但是可能会产生重复的序列*/ template<class T> void ToPermu(T A[], int l, int r) { if (l == r) { for (int i=0; i<=r; i++) cout << A[i] << " "; cout << endl; return; } for (int i=l; i<=r; i++) { swap(A[l], A[i]); GenePermu(A, l+1, r); swap(A[l], A[i]); } } template<class T> bool Check(T A[], int i, int j) { for (int t=i; t<j; t++) if (A[t] == A[j]) return false; return true; } /*全排列的升级版,可以去除掉重复序列的情况*/ template<class T> void ToPermuPro(T A[], int l, int r) { if (l == r) { for (int k=0; k<=r; k++) cout << A[k] << " "; cout << endl; return; } for (int k=l; k<=r; k++) { if (Check(A, l, k)) continue; swap(A[k], A[l]); GenePermuPro(A, l+1, r); swap(A[k], A[l]); } } /*判断是否还有下一个字典序*/ bool NextPermutation(int A[], int n) { int j = n - 2; while (A[j] >= A[j+1] && j>=0) --j; if (j < 0) return false; int i = n - 1; while (A[j] >= A[i]) --i; swap(A[j], A[i]); int l = j + 1; int r = n - 1; while (l < r) swap(A[l++], A[r--]); return true; }
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