【动态树问题】LCT学习笔记

我竟然还不会LCT QAQ真是太弱了

必须学LCT QAQ

——————————————————线割分是我www———————————-

LinkCut-Tree是基于Splay(因为Splay可以很快的支持合并和分离,当然fhqTreap也可以但是复杂度会多一个log)的一种动态维护树的权值形态的方法.基本做法是基于轻重链(注意这里的轻重链和树链剖分的轻重链定义并不一样)将树分成若干Splay森林,然后对这个Splay森林进行各种鬼畜的操作.

由Sleator和Tarjan发明,操作和查询的复杂度是O(log n)O(log\ n) .

对于每一个Splay,其内部排序关键字是Splay中的节点在原树里的深度.因此对其进行中序遍历,得到的结果是一个由浅到深的元素构成的序列.

LCT的基本操作:

1.Cut(x) 删除x与其父亲之间的边,即分离一棵子树变成两棵树

2.Join(v,w,c) 使v称为w的子节点,前提是v是一棵独立的子树的根节点且v,w不在同一棵子树内.即在不同树上的两点间连一条边权为c的边.

3.Find-Root(x) 返回x所在子树的根节点

4.Access(x) 将x到其根节点的路径作为一条新的重路径(会修改路径上经过节点的父亲信息和孩子信息)

5.parent(x) 返回x的父亲节点信息,如果x是根返回NULL

6.Find-cost(x) 返回x到其父亲节点的权值信息.

7.Min/MaxCost(x) 返回x到根节点的最小/最大权

8.Modify/Update(x,delta) 将x到根节点路径上的权值增加或减少delta.(注意到两次使用它可以做到修改一条边/一条链的权值)

9.Reverse/Evert(x) 将x设为根节点,并将x到原来的根节点上的边反向.(Evert是陈首元论文里用的词然而并不好记不如reverse常用啊…)

其中LCT最核心的操作就是Access.

在LCT中,我们称经过了Access操作的点为被访问过的点.对于节点v,v和它所有儿子节点里最后被访问过的点将被作为重路径(从这里可以看出来轻重链的定义和链剖是完全不一样的).

Access怎样实现?暴力向上找父亲然后修改就行了…

可能你会觉得这个东西复杂度很渣…

其实使用势能分析可以计算得到它的均摊时间复杂度是O(log n)O(log \ n)的.(然而我并不会势能分析QAQ)

具体分析可以询问别的神犇或者参考集训队2006论文《维护森林连通性–动态树》陈首元和2007论文《对Qtree解法的一点研究》杨哲

对于LCT里的重链,链上相邻两个节点的父子关系是确定的.即父节点记录了其儿子节点是哪一个,儿子节点记录了其父节点是哪一个.而作为轻边而言,父节点并不会记录轻边上的儿子是哪些,但是轻边上的儿子会记录其父节点,这样为我们在进行Access操作提供了方便.

构造出的Splay森林构成LCT,又叫辅助树.

有时候我们也把重边叫实变边,轻边叫虚边.(有些人是这么叫的)

好像完成了…

如果以后可以写的我再补.

如果哪位神犇发现我写的不对或者有什么不全的请通知我修改