跳
2015-08-10 09:38
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试题描述 |
Robot X喜欢在各种各样空间内跳。 现在,Robot X来到了一个二维平面。在这个平面内,如果Robot X当前跳到了(x,y),那么他下一步可以选择跳到以下4个点:(x-1,y),(x+1,y),(x,y-1),(x,y+1)。 而每当Robot X到达一个点,他需要耗费一些体力,假设到达(x,y)需要耗费的体力用 C(x,y)表示。 对于C(x,y),有以下几个性质: 1 、若x=0或者y=0,则C(x,y)=1。 2 、若x>0且y>0,则C(x,y)=C(x,y-1)+C(x-1,y)。 3 、若x<0且y<0,则C(x,y)=无穷大。 现在,Robot X想知道从(0,0)出发到(N,M),最少花费多少体力(到达(0,0)点花费的体力也需要被算入)。 由于答案可能很大,只需要输出答案对10^9+7取模的结果。 |
输入 |
读入两个整数N,M,表示Robot X想到达的点。 |
输出 |
输出仅一个整数,表示Robot X需要花费的最小体力对10^9+7取模的结果。 |
输入示例 |
1 2 |
输出示例 |
6 |
其他说明 |
对于 100% 的数据,满足 0<=N, M<=10^12 ,N*M<=10^12。 |
这个题贪心的思路应该比叫好想,因为,越往第一象限深处走,花费的体力越多,所以我们肯定要尽可能多的在坐标轴上走,尽可能少的在象限里走,这样路线就出来了。
关键是如何求这个路线,首先第一部分肯定是max(m,n),然后观察可以发现象限里的每一个点都等于c(x + y,x),这样第二部分的答案就应该是:c(max(m,n)
+ 0,0) + c(max(m,n) + 1,1) + c(max(m,n) + 2,2) + c(max(m,n) + 3,3) + …… + c(max(m,n) + min(m,n),min(m,n);
根据组合数的的一些性质上式可以合并为c(m + n + 1,min(m,n));
这样我们的答案就变成了max(m,n) + c(m + n + 1,min(m,n));(%1000000007);但是m,n特别大,而且是除法,所以再用费马小定理求个乘法逆元搞一下就好了。
C++程序:
#include <iostream>
using namespace std;
long long m, n;
long long ANS, a, b, x, y, js, js1;
long long c = 1000000007, p, ans, ans2;
long long zuhe(long long a, long long b){
ans = 1;
p = 1;
for(long long i = a; i >= max(b, a - b) + 1; --i){
ans = (ans * (i % c)) % c;
}
for(long long i = 1; i <= min(b, a - b); ++i){
p = (p * (i % c)) % c;
}
x = p % c;
y = c - 2;
ans2 = 1;
while(y > 0){
if(y % 2 == 1) ans2 = (ans2 * x) % c;
y /= 2;
x = (x * x) % c;
}
ans = (ans * ans2) % c;
return ans;
}
int main(){
cin >> m >> n;
ANS = max(m, n) % c;
a = m + n + 1;
b = min(m, n);
ANS = (ANS + zuhe(a, b)) % c;
cout << ANS;
}