扩展欧几里得算法及其应用，逆元简介，中国剩余定理简介

扩展欧几里得算法及其应用

一。欧几里得算法，即辗转相除法求最大公约数的

gcd(a,b) = gcd(b,a%b);

代码：

int gcd(int a,int b){
return b == 0?a:gcd(b,a%b);
}

证明方法另行百度，这里不在多说。

二。扩展欧几里得算法

对于不完全为0的非负整数a,b ;gcd(a,b)表示a,b的最大公约数;必然存在整数对x,y ;使得 gcd(a,b)=ax+by。

求解整数对(x,y)的方法如下

void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)	//d是最大公约数，x,y分别为求解的结果，注意到后面传入的为引用
{
if(b == 0)
{
x = 1,y = 0, d = a;
return;
}
exgcd(b,a%b,d,x,y);
int t = x; x = y; y = t-a/b*y;
}

证明过程：设 a>b。

　　1, 显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

　　2, ab!=0 时

　　设 ax1+by1=gcd(a,b);

　　 bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于x2,y2,也就是说上一层的结果是基于递归更深一层的x,y得到的

三。扩展欧几里得算法应用

1>.求解不定方程ax+by=c的解(x,y);

首先可以根据扩展欧几里得算法求出ax+by=gcd(a,b)的一组解(x0,y0),记 d = gcd(a,b)那么

方程两边同时乘上c/d,就可以得到a(x0*c/d)+b(y0*c/d) = c;

x = x0*c/d, y = y0*c/d;当然这只是方程的一组整数解

通解是 X = x+b/d*t, Y = y-a/d*t; (t为任意整数)

证明方法:

将(x0,y0)代入ax+by=c,则有

a*(x0)+b*(y0)=c

通过拆添项,可有：

a*(x0+k*b/d)+b*(y0-k*a/d)=c (k∈Z)

至此,我们得到了通解的方程

x=x0+k*b/d;

y=y0-k*a/d; (k∈Z)

2>.求解模线性方程(线性同与方程) ax ≡ b(%n)的解x;

ax ≡ b(%n), 实际就是求解ax + ny = b(x,y为整数)的x,当且仅当gcd(a,n)|b时有解,且有gcd(a,n)个解;

令d = gcd(a,n), 先用扩展欧几里得算法求解ax + by = d的一组解(x0,y0);那么ax + ny = b的一组解为(x0*b/d,y0*b/d);

故 x = x0*b/d为原方程的一组解。那么ax ≡ b(%n)的一个解为x0*(b/d)%n,通解为x = (x0+i*b/d)%n;(i = 0,1,2,...,d-1)

设ans=x0*(b/d),s=n/d;方程ax ≡ b(%n)的最小整数解为：(ans%s+s)%s;

3>求模的逆元

同余方程ax≡b(%n)，如果 gcd(a,n) == 1，则方程只有唯一解。

在这种情况下，如果 b == 1，同余方程就是 ax≡1(%n),gcd(a,n)= 1。

这时称求出的x为a的对模n乘法的逆元。

对于同余方程ax≡1(%n), gcd(a,n) = 1 的求解就是求解方程ax+ ny= 1，x, y 为整数。

这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的x 。

四，中国剩余定理(请参考下面的博客)

/article/5405502.html

POj1006AC代码:

#include<stdio.h>
#define MAX 21252
int main()
{
int p, e, i, d, n, count = 0;
while( scanf("%d%d%d%d", &p, &e, &i, &d) != EOF )
{
count++;
if(p == -1 && e == -1 && i == -1 && d == -1)
break;
n = ( 5544 * p + 14421 * e + 1288 * i - d ) % MAX;
if( n <= 0 )
n += MAX;
printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n", count, n );
}
return 0;
}

五，费马小定理

若x是一个不能被质数p整除的整数，则x^(p-1)-1必能被p整除。如果用同余式写法，就是x^(p-1)≡1(%p)。

求解乘法逆元(参见以下博客)

/article/2371887.html