【面试题】在一个含有n个元素的集合中随机取一个数

题目

遇到这么一个面试题，题目是在一个含有n个元素的集合中随机取一个元素。关键点是n很大而且不定，所以不能直接生成一个随机数，然后等概率取。

解答

假设存放n个元素的集合为S0，然后再申请一个空集合S1。然后将S0中的元素一个一个的放入S1中，在这个过程中做如下操作：

1. 将第一个元素i1放入集合S1中，即S1{i1}，在S1中随机取一个元素的话只能取i1；

2. 再将元素i2放入集合S1中，即S1{i1, i2}，生成一个0-1之间的随机数，如果随机数小于1/2，则选取新加入的元素，否则，保持上次选取的元素不变；

3. 再将元素i3放入集合S1中，即S1{i1, i2, i3}，生成一个0-1之间的随机数，如果随机数小于1/3，则选取新加入的元素，否则，保持上次选取的元素不变；

4. 再将元素i4放入集合S1中，即S1{i1, i2， i3， i4}，生成一个0-1之间的随机数，如果随机数小于1/4，则取新加入的元素，否则，保持上次选取的元素不变；

5. ……

6. 直到原集合S0为空结束。

这样是不是等概率呢？

第一次：选取i1的概率P1(i1) = 1;

第二次：P2(i2) = 1/2; P2(i1) = P1(i1) x 1/2 = 1 x 1/2 = 1/2;

第三次：P3(i3) = 1/3; P3(i2) = P2(i2) x 2/3 = 1/2 x 2/3 = 1/3; P3(i1) = P2(i1) x 2/3 = 1/2 x 2/3 = 1/3;

第四次：P4(i4) = 1/4; P4(i3) = P3(i3) x 3/4 = 1/3 x 3/4 = 1/4 …………

这样直到n个元素全部都放到S1之后，所取的元素就是等概率取的。