(Orbit-stabilizer theorem) 的简单证明

给定一个群 G，m∈G，则元素 m 的迹 G⋅m={am|a∈G}。群元素 m 的isotropy group 定义为 Gm={a|am=m,a∈G}。有如下定理：

定理：

元素 m 轨道集合 G⋅m 的元素个数与元素 m 的isotropy group Gm 的元素个数之积，等于群 G 的元素个数。

|G⋅m|⋅|Gm|=|G|

证明：

我们将所有使得 hm=n 的 h∈G 构成的子群记做Gmn，对于任意一个 h∈Gmn，我们可以通过定义映射ϕ:g→hg 建立一个从Gm到Gmn的映射ϕ:Gm→Gmn。因为每一个 g∈Gm 在 ϕ 的作用下都得到一个在 Gmn 中唯一的元素，即构成一个 Gmn 的子集，因此我们知道 |Gm|≤|Gmn|。同理，对于任意一个 h∈Gmn，我们可以通过定义映射ϕ:u→h−1u 建立一个从Gmn到Gm的映射ϕ:Gmn→Gm。同理，我们也可以得到 |Gmn|≤|Gm|。因此，我们得到 |Gmn|=|Gm|。这个关系对于任意 n∈G⋅m 都成立。对于每一个 n，G 中都有 |Gmn| 个唯一的元素将其从 m 变换到 n，因此，G 中元素的个数就等于 n 的个数乘以 |Gmn|。于是就有定理中的等式：

|G⋅m|⋅|Gm|=|G|■