[家里蹲大学数学杂志]第410期定积分难题

1.

(1). 设 $x\geq 0$, $n$ 为自然数, 证明: $$\bex x^n\geq n(x-1)+1; \eex$$

(2). $\forall\ n$, 求证: $$\bex \int_0^{1+\frac{2}{\sqrt{n}}}x^n\rd x>2; \eex$$

(3). 设正数列 $\sed{a_n}$ 满足 $$\bex \vlm{n}\int_0^{a_n}x^n\rd x=2. \eex$$ 求证: $\dps{\vlm{n}a_n=1}$.

2. 设 $f\in C[0,1]$, $\dps{\int_0^1 f(x)x^k\rd x=0\ (k=0,1,\cdots,n-1)}$, 且 $\dps{\int_0^1 f(x)x^n\rd x=1}$, 求证: $\exists\ \xi\in [0,1]$ 使 $|f(\xi)|\geq 2^n(n+1)$.

3. 设 $f,g\in C[a,b]$, 并且 $f(x)$ 单调下降, $0\leq g(x)\leq 1$, 记 $\dps{\lm=\int_a^b g(x)\rd x}$. 求证: $$\bex \int_{b-\lm}^b f(t)\rd t\leq \int_a^b f(t)g(t)\rd t. \eex$$

4. 设 $f'\in C[0,1]$, 且满足 $0\leq f'(x)\leq 1, f(0)=0$, 求证: $$\bex \int_0^1 f^3(x)\rd x\leq \sex{\int_0^1 f(x)\rd x}^2. \eex$$

5. 设 $f(x)$ 在实轴上有界且可微, 并满足 $$\bex |f(x)+f'(x)|\leq 1,\quad x\in (-\infty,+\infty). \eex$$ 求证: $|f(x)|\leq 1$.

6. 设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可微, 且 $0\leq f'(x)\leq f(x)$, $f(0)=0$. 求证: $f(x)\equiv 0$.

7. 设 $f\in C^2[0,1]$, $\dps{\forall\ \xi\in \sex{0,\frac{1}{3}},\ \eta\in \sex{\frac{2}{3},1}}$.

(1). 求证: $\dps{|f'(x)|\leq 3|f(\xi)-f(\eta)|+\int_0^1 |f''(x)|\rd x}$;

(2). 求证: $\dps{|f'(x)|\leq 9\int_0^1 |f(x)|\rd x+\int_0^1 |f''(x)|\rd x}$.

8. 设 $f\in C[1,\infty)$, $f(x)>0$, 并且 $$\bex F(x)=\int_1^x f(t)\rd t\leq [f(x)]^2,\quad \forall\ x\geq 1. \eex$$

(1). 求证: $F'(x)\geq \sqrt{F(x)}$;

(2). 求证: $\dps{f(x)\geq \frac{1}{2}(x-1)}$;

(3). 若 $\dps{\int_1^x f(t)\rd t\leq [f(x)]^3}$, 求证: $\dps{f(x)\geq\sqrt{\frac{2}{3}(x-1)}}$.

9. 设 $f\in C^2[a,b]$, $f(a)=f(b)=0$. 求证:

(1). $\forall\ x\in [a,b]$, 有 $$\bex \sev{f(x)\cdot \frac{b-a}{(x-a)(x-b)}}\leq \int_a^b |f''(x)|\rd x; \eex$$

(2). $\dps{\max_{a\leq x\leq b}|f(x)|\cdot \frac{4}{b-a}\leq \int_a^b |f''(x)|\rd x}$.

10.

(1). 设 $f(x)$ 单调上升, $f(0)>0$. 求证: $$\bex 1\leq \int_0^1 f(x)\rd x\cdot \int_0^1 \frac{1}{f(x)}\rd x\leq \frac{[f(0)+f(1)]^2}{4f(0)f(1)}; \eex$$

(2). 设 $a_i\geq 0$, $i=1,2,3$, $a_1+a_2+a_3=1$, $0<\lm_1<\lm_2<\lm_3$. 求证: $$\bex 1\leq \sex{\sum_{i=1}^3 a_i\lm_i}\cdot \sex{\sum_{i=1}^3 \frac{a_i}{\lm_i}}\leq \frac{(\lm_1+\lm_3)^2}{4\lm_1\lm_3}. \eex$$

11.

(1). 设 $f(x)$ 在 $(0,\infty)$ 上连续且单调递减. 求证: $$\bex \int_1^{n+1}f(x)\rd x\leq \sum_{k=1}^n f(k)\leq f(1)+\int_1^n f(x)\rd x; \eex$$

(2). 设 $\dps{S_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}}$. 求 $$\bex \vlm{n}\frac{S_{2n}-S_n}{\sqrt{n}}; \eex$$

(3). 设 $\dps{a_n=\frac{1}{1+\frac{1}{1}} +\frac{1}{2+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{1}{n+\frac{1}{n}}-\ln\frac{n}{\sqrt{2}}}$. 求证: 序列 $a_n$ 存在极限, 并证明此极限在 $0$ 与 $\dps{\frac{1}{2}}$ 之间.

12. 设 $a_1\geq a_2\geq \cdots\geq a_n\geq 0$.

(1). 若 $f(0)=0$, $f'(0)\geq 0$, $f''(x)\geq 0$\ ($0\leq x<\infty)$. 求证: $$\bex \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}f(a_k)\geq f\sex{\sum_{i=1}^n (-1)^{k+1}a_k}; \eex$$

(2). 求证: 当 $p>1$ 时, $$\bex \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} a_k^p\geq \sex{\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} a_k}^p. \eex$$

13. 设 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上增加. 求证: $\forall\ c\in (a,b)$, 有 $$\bex f(x)=\int_c^x g(t)\rd t \eex$$ 是凸函数.

14. 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是凸的. 求证: $\forall\ c,x\in [a,b]$, 有 $$\bex f(x)-f(c)=\int_c^x f'_-(t)\rd t=\int_c^x f'_+(t)\rd t. \eex$$

15. 求证: $$\bex \int_0^{\sqrt{2\pi}}\sin x^2\rd x>0. \eex$$

16. 请按下列提示的思路证明: 若 $f\in C[a,b]$, 单调增加, 则 $$\bex \int_a^b xf(x)\rd x\leq \frac{a+b}{2}\int_a^b f(x)\rd x. \eex$$

思路一: 对积分 $\dps{\int_a^b \sex{x-\frac{a+b}{2}}f(x)\rd x}$ 分段使用第一中值定理.

思路二: 对积分 $\dps{\int_a^b \sex{x-\frac{a+b}{2}}f(x)\rd x}$ 使用第二中值定理.

思路三: 从 $\dps{\int_a^b \sex{x-\frac{a+b}{2}}\sex{f(x)-f\sex{\frac{a+b}{2}}}\rd x\geq 0}$ 出发.

思路四: 从 $$\bex (t-x)(f(t)-f(x))\geq 0,\quad \forall\ t,x\in [a,b] \eex$$ 出发, 先固定住 $x$ 对 $t$ 积分, 将所得结果再对 $x$ 积分.

17. 设 $b>a>0$. 求证: $\dps{\ln \frac{b}{a}>\frac{2(b-a)}{a+b}}$.

所有习题选自北京大学数学系的数学分析习题集. 参考解答见第411期.