高考题(可作为试讲资料)

一. 已知数列 $ \{a_{n}\} $ 满足 $ a_{1}=1/2 $ 且 $ a_{n+1}=a_{n}-a_{n}^{2} $

(1) 证明： $ 1\leq
\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\leq 2 $

(2) 设数列 $ \{a_{n}^{2}\}
$ 的前 $ n $ 项和为 $ S_{n} $ , 证明 $ \frac{1}{2(n+2)}\leq
\frac{S_{n}}{n}\leq\frac{1}{2(n+1)} $

二. 在数列 $ \{a_{n}\} $ 中, $
a_{1}=3 $ , $ a_{n+1}a_{n}+\lambda
a_{n+1}+u a_{n}^2=0 $

(1) 若 $ \lambda=0,
u=-2 $ , 求数列 $ \{a_{n}\}
$ 的通项公式

(2) 若 $ \lambda =
\frac{1}{k_{0}}(k_{0}\in \bbN_{+}, k_{0}\geq 2), u=-1 $ , 证明 $ 2+\frac{1}{3k_{0}+1}<a_{k_{0}+1}<2+\frac{1}{2k_{0}+1}
$

三. 设函数 $ f(x)=e^{mx}+x^{2}-mx $

(1) 证明: $ f(x)
$ 在 $ (-\infty, 0) $ 单调递减，在 $ (0, +\infty)
$ 单调递增

(2) 若对任意的 $ x_{1}, x_{2}\in
[-1, 1] $ , 都有 $ |f(x_{1})-f(x_{2})|\leq e-1 $
, 求 $ m $ 的取值范围.

四. 已知函数 $ f(x)=\ln
(x+1), g(x)=k x (k \in \bbR) $

(1) 证明： 当 $ x>0 $ 时, $ f(x)<x $

(2) 证明：当 $ k<1 $ 时存在 $ x_{0}>0
$ , 使得任意的 $ x\in (0, x_{0}) $ 恒有 $ f(x)>g(x) $

(3) 确定 $ k $ 的所有可能只使得存在 $ t>0
$ , 对任意的 $ x\in(0, t) $ 恒有 $ |f(x)-g(x)|<x^{2} $

五. 已知函数 $ f(x)=-2(x+a)\ln
x +x^{2}-2ax-2a^{2}+a (a>0) $

(1). 设 $ g(x) $ 是 $ f(x) $ 的导函数，讨论 $ g(x)
$ 的单调性

(2) 证明存在 $ a\in(0, 1)
$ 使得 $ f(x)\geq 0 $ 在区间 $ (1, +\infty)
$ 恒成立且 $ f(x)=0 $ 在区间 $ (1, +\infty) $ 内有唯一解

六.
已知 $ a>0 $ 函数 $ f(x)=e^{ax}\sin x (x\geq 0) $
记 $ x_{n} $ 为 $ f(x) $ 的从小到大的第 $ n $
个极值点，证明

(1) 数列 $ f(x_{n}) $
是等比数列

(2) 若 $ a\geq
\frac{1}{\sqrt{e^{2}-1}} $ , 则对一切 $ x_{n}<|f(x_{n})|
$ 恒成立

七.
设函数 $ f(x)=\ln (x+1)+a(x^{2}-x), a \in \bbR $

(1) 讨论函数 $ f(x) $ 极值点的个数

(2) 任意 $ x, f(x)\geq
0 $ 成立，求 $ a $ 的取值范围

八. 设 $ x_{n} $ 是曲线 $ y=x^{2n+2}+1 $ 在点 $ (1, 2) $ 处的切线与 $ x $ 轴交点的横坐标

(1) 求数列 $ \{x_{n}\}
$ 之通项公式

(2) 记 $ T_{n}=x_{1}^{2}x_{3}^{2}\cdot
x_{2n-1}^{2} $ , 证明 $ T_{n}\geq \frac{1}{4n} $

九. 数列 $ \{a_{n}\}
$ 满足 $ a_{1}+2a_{2}+\cdot+na_{n}=4-\frac{n+2}{2^{n-1}} $

(1) 求数列 $ \{a_{n}\}
$ 的前 $ n $ 项和 $ T_{n} $

(2) 令 $ b_{1}=a_{1}
$ ， $ b_{n}=\frac{T_{n-1}}{n}+(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdot+\frac{1}{n})a_{n}
(n\geq 2) $ ，证明 $ \{b_{n}\} $ 的前 $ n $ 项和 $ S_{n} $ 满足 $ S_{n}<2+2\ln
n $

十. 已知数列 $ \{a_{n}\}
$ 满足 $ a_{1}\in \bbN_{+}, a_{1}\leq 36 $ 且当 $ a_{n}\geq
18 $ 时 $ a_{n+1}=2a_{n} $ ，其他 $ a_{n+1}=2a_{n}-36
$ , 记集合 $ M=\{a_{n}|n\in \bbN_{+}\} $

(1) 若 $ a_{1}=6 $
写出 $ M $ 中所有元素

(2) 若集合 $ M $ 存在一个元素是3的倍数则 $ M $ 中所有元素为3的倍数

(3) 求集合 $ M $ 中元素个数的最大值

十一.
已知集合 $ X=\{1, 2, 3\}, Y_{n}=\{1, 2, 3, \cdot, n\} $ ，设 $ S_{n}=\{(a,
b)| a\in X, b\in Y_{n}\} $ 并且 $ S_{n} $ 元素满足 $ a $ 整除 $ b $ 或 $ b $ 整除 $ a $ ， $ f(n) $ 表示 $ S_{n} $ 所含元素的个数, 写出 $ f(n) $ 的表达式.

转自: http://www.cnblogs.com/zhangwenbiao/p/4823271.html