最小生成树算法

定义

由带权的连通图生成的数的各边加起来称为生成树的权，把权值最小的生成树称为最小生成树（Minimum Spanning Tree），简称为MST

分析

\qquad构造最小生成树的方法就是利用MST性质，一条一条地选择可以加入的边。下面介绍两种用于构造最小生成树的算法，其中第一种算法称为Prim算法，第二种算法称为Kruskal算法。

\qquadPrim算法中，每次循环选择一个顶点（和一条边）加入到最小生成树中，直到所有顶点全部在最小生成树中为止。与Prim算法不同，Kruskal算法在一开始就把所有顶点都放到最小生成树中，每次循环只根据MST性质，选择一条适当的边加到最小生成树，直到没有合适的边为止。

Prim算法

#define INF 0x3f3f3f3f
#define MAX 10010
int cost[MAX][MAX];     //保存图

int prim(int n){    //点为 0~n
int ans = 0;    //权值
int vis[MAX];   //访问标记
int lowc[MAX];  //权最小的边
memset(vis,0,sizeof(vis));
vis[0] = 1;
for(int i=1; i<n; i++)lowc[i] = cost[0][i];
for(int i=1; i<n; i++){
int minc = INF;
int p = -1;
for(int j=0; j<n; j++)
if(!vis[j] && minc>lowc[j]){
minc = lowc[j];
p = j;
}
if(minc == INF)return -1;   //图不连通
ans += minc;
vis[p] = 1;
for(int j=0; j<n; j++)
if(!vis[j] && lowc[j]>cost[p][j])
lowc[j] = cost[p][j];
}
for(int i=0; i<n; i++)
cout<<lowc[i]<<" ";
cout<<endl;
return ans;
}

Kruskal算法

#define MAXN 10010      //最大点数
#define MAXM 1000010    //最大边数

int f[MAXM];    //并查集数组

struct Edge{
int u;      //边起点
int v;      //边终点
int w;      //边的权值
}edge[MAXN];

bool cmp(Edge x, Edge y){
return x.w < y.w;
}

int find(int x){
if(f[x] == -1)
return x;
return f[x] = find(f[x]);
}

int Kruskal(int n,int m){       //点数 0~n-1 ,边数 m
memset(f,-1,sizeof(f));
sort(edge,edge+m,cmp);
int ans = 0;
int cnt = 0;    //记录加入的边数
for(int i=0; i<m; i++){
int u = edge[i].u;
int v = edge[i].v;
int w = edge[i].w;
int r1 = find(u);
int r2 = find(v);
if(r1 != r2){
f[r1] = r2;
ans += w;
cnt++;
}
if(cnt == n-1)
break;
}
if(cnt != n-1)
return -1;      //不连通
return ans;
}