POJ2429 GCD & LCM Inverse pollard_rho大整数分解

题目链接：http://poj.org/problem?id=2429

题目大意：给出两个数的最大公约数和最小公倍数，让你找出满足条件的两个数，使他们的和最小。

分析：我们知道，对于两个数a,b和他们的最大公约数gcd以及最小公倍数lcm，有lcm=a*b/gcd，进一步变形可以得到：（a/gcd * b/gcd）*gcd=lcm，即(a/gcd * b/gcd)=lcm/gcd，我们令m=a/gcd,n=b/gcd，那么问题就变为了：找出两个互素的整数，使他们的乘积为key=lcm/gcd。我们可以用pollard_rho大整数分解的方法找出lcm/gcd的所有素因子，然后深搜出符合条件的m和n即可。

实现代码如下：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>

#define times 10
#define N 501
using namespace std;
typedef unsigned long long LL;
const LL INF=(LL)1<<61;
LL key,ct,cnt,gd,lm,resa,resb,mini;
LL fac
,num
;

LL gcd(LL a,LL b)
{
return b?gcd(b,a%b):a;
}

LL multi(LL a,LL b,LL m)
{
LL ans=0;
a%=m;
while(b)
{
if(b&1)
{
ans=(ans+a)%m;
b--;
}
b>>=1;
a=(a+a)%m;
}
return ans;
}

LL quick_mod(LL a,LL b,LL m)
{
LL ans=1;
a%=m;
while(b)
{
if(b&1)
{
ans=multi(ans,a,m);
b--;
}
b>>=1;
a=multi(a,a,m);
}
return ans;
}

bool Miller_Rabin(LL n)
{
if(n==2) return true;
if(n<2||!(n&1)) return false;
LL m=n-1;
int k=0;
while(!(m&1))
{
k++;
m>>=1;
}
for(int i=0;i<times;i++)
{
LL a=rand()%(n-1)+1;
LL x=quick_mod(a,m,n);
LL y=0;
for(int j=0;j<k;j++)
{
y=multi(x,x,n);
if(y==1&&x!=1&&x!=n-1) return false;
x=y;
}
if(y!=1) return false;
}
return true;
}

LL Pollard_rho(LL n,LL c)
{
LL i=1,k=2;
LL x=rand()%(n-1)+1;
LL y=x;
while(true)
{
i++;
x=(multi(x,x,n)+c)%n;
LL d=gcd((y-x+n)%n,n);
if(1<d&&d<n) return d;
if(y==x) return n;
if(i==k)
{
y=x;
k<<=1;
}
}
}

void Find(LL n,LL c)
{
if(n==1) return ;
if(Miller_Rabin(n))
{
fac[ct++]=n;
return ;
}
LL p=n;
LL k=c;
while(p>=n) p=Pollard_rho(p,c--);
Find(p,k);
Find(n/p,k);
}

void dfs(LL dept,LL product)
{//dept为递归深度，product为其中一个因子
if(dept==cnt)
{
LL a=product;
LL b=key/a;
if(gcd(a,b)==1)
{
a*=gd;
b*=gd;
if(a+b<mini)
{
mini=a+b;
resa=a;
resb=b;
}
}
return ;
}
for(int i=0;i<=num[dept];i++)
{
if(product>mini) return ;
dfs(dept+1,product);
product*=fac[dept];
}
}

void Solve(LL n)
{
ct=0;
Find(n,120);
sort(fac,fac+ct);
num[0]=1;
int k=1;
for(int i=1;i<ct;i++)
{
if(fac[i]==fac[i-1])
num[k-1]++;
else
{
num[k]=1;
fac[k++]=fac[i];
}
}
cnt=k;
dfs(0,1);
if(resa>resb) swap(resa,resb);
}

int main()
{
while(cin>>gd>>lm)
{
if(gd==lm)
{
printf("%llu %llu\n",gd,lm);
continue;
}
mini=INF;
key=lm/gd;
Solve(key);
printf("%llu %llu\n",resa,resb);
}
return 0;
}