POJ3696 The Luckiest number 欧拉函数应用

题目链接：http://poj.org/problem?id=3696

题目大意：对于给定的整数L，找出L能整除最短的全8序列的长度，做为Bob的幸运数字。

分析：我们设幸运数字是x，由题意可知，长度为x全8序列为：8/9 * （10^x-1）=L * p，即（10^x-1）=9 * L * p/8。令m=9 * L/gcd(L,8),则存在p'，使9 * L * p/8=m * p'，方程转换为(10^x-1)=m * p'，即求同余方程10^x≡1（mod m）的最小解。

根据欧拉公式我们知道，10^Φ（m）≡1（mod m），而我们要求的是最小的解，所以答案肯定是Φ（m）的因子，所以只需要枚举Φ（m）的因子，然后检查模值是否为1即可。

解题步骤如下：

（1）求解x=Φ（m）；

（2）找出Φ（m）的所有素因子pi；

（3）令x=x/pi,直到10^x≠1（mod m）或pi不能整除x。如果10^x≠1（mod m），令x=x×pi；

（4）重复步骤（3），直到所有的素因子都经过（3）处理；

（5）此时x就是满足10^x≡1（mod m）的最小解。

对于何时无解呢？很显然，当gcd（10，m）！=1时，方程无解。因为10^x-1既不能被2整除，又不能被5整除。

实现代码如下：

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a,ll b)
{
return b?gcd(b,a%b):a;
}
ll mod;
ll multi(ll a,ll b)
{
ll ans=0;
while(b)
{
if(b&1) ans=(ans+a)%mod;
a=(a+a)%mod;
b>>=1;
}
return ans;
}
ll quick_mod(ll x)
{
ll ans=1,m=10;
while(x)
{
if(x&1) ans=multi(ans,m);
m=multi(m,m);
x>>=1;
}
return ans;
}
int main()
{
int T=1;
while(scanf("%lld",&mod)&&mod)
{
printf("Case %d: ",T++);
mod=mod*9/gcd(mod,8);
if(gcd(mod,10)!=1)
{
printf("0\n");
continue;
}
ll rea=mod,n=mod;
ll p[50][2];
int k=0;
for(ll i=2;i*i<=n;i++)
if(n%i==0)
{
rea=rea-rea/i;
do
n/=i;
while(n%i==0);
}
if(n>1) rea=rea-rea/n;
n=rea;
for(ll i=2;i*i<=n;i++)
if(n%i==0)
{
p[k][0]=i;
p[k][1]=0;
do
{
n/=i;
p[k][1]++;
}while(n%i==0);
k++;
}
if(n>1)
{
p[k][0]=n;
p[k][1]=1;
k++;
}
for(int i=0;i<k;i++)
for(int j=1;j<=p[i][1];j++)
if(quick_mod(rea/p[i][0])==1)
rea/=p[i][0];
printf("%lld\n",rea);
}
return 0;
}