标准二维表

问题描述：
设n是一个正整数。2*n的标准二维表是由正整数1,2,…,2n组成的2*n数组，该数组的每行从左到右递增，每列从上到下递增。2*n的标准二维表全体记为tab(n)。例如，当n=3时，tab(3)二维表如下图所示。

1	2	3
4	5	6

1	2	4
3	5	6

1	3	5
2	4	6

1	3	4
2	5	6

1	3	5
2	4	6

编程任务：
给定正整数n，试计算tab(n)中2*n二维表的个数。
参考代码：

全排列改进
该方法难于实现，因为当n值大于5以后，程序消耗的时间就会非常长。

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int *arr,n;
long count=0l;
void swap(int i,int j)
{
int temp=arr[i];
arr[i]=arr[j];
arr[j]=temp;
}
int place()
{
int i;
for(i=1;i<n;i++)
if(arr[i]<arr[i-1]||arr[i]>arr[i+n])
return 0;
for(++i;i<2*n;i++)
if(arr[i]<arr[i-1])
return 0;
return 1;
}
void print()
{
int m;
count++;
for(m=0;m<n;m++)
printf("%3d\t",arr[m]);
putchar('\n');
for(;m<2*n;m++)
printf("%3d\t",arr[m]);
printf("\n***************************\n");
}
void perm(int start,int end){
if(start==end&&place())
print();
else{
for(int i=start;i<=end;i++)
if(start==i||(start!=i&&arr[start]!=arr[i])){//剔除重复项
swap(start,i);
perm(start+1,end);
swap(start,i);
}
}
}

int main(){
int i,j;
scanf("%d",&n);
arr=(int*)malloc(sizeof(int)*n*2);
for(i=0;i<2*n;i++)
arr[i]=i+1;
if(n==1)
print();
else
perm(1,2*n-2);
printf("%ld\n",count);
}

利用catalan数（卡特兰数）

catalan数性质：

令h(0)=1,h(1)=1，卡塔兰数数满足递归式：

h(n)= h(0)*h(n-1) +h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2),这是n阶递推关系;

还可以化简为1阶递推关系:如h(n)=(4n-2)/(n+1)*h(n-1)(n>1)
h(1)=h(0)=1

该递推关系的解为：h(n)=C(2n,n)/(n+1)=P(2n,n)/(n+1)!=(2n)!/(n!*(n+1)!)(n=1,2,3,...)

卡塔兰数列的前几项为(sequence A 0 00 1 0 8 in OEIS) [注： n = 0, 1, 2, 3, … n]

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132,429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670,129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640,343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …

由于int、long型数据存储范围有限，所以该方法也只能计算出范围为n<=16的结果。

#include<stdio.h>

long f(long n)
{
if(n==1)
return 1;
else
return (4*n-2)*f(n-1)/(n+1);
}
int main()
{
long n;
scanf("%ld",&n);
printf("%ld\n",f(n));
return 0;
}