[数据结构]RMQ算法

记得不久以前，我认真练习过的第一个数据结构是线段树，当时做了很多题目，poj3468，hdu1166等等。看着模板敲线段树的感觉其实很不错，但是有一个问题：虽然线段树能高效做很多关于区间查询，区间更新的问题，但是架不住代码量太大......解题时，一定得想清楚每个节点要存哪些信息，以及这些信息如何高效更新，维护，查询。不要一更新就涉及到叶子节点，否则写线段树的代码根本就没有意义了......

听说RMQ算法问题是一个缩小版的线段树，神奇的是它的复杂度级别是和线段树相同的，对于大多数题目都可以使用RMQ算法来代替复杂的线段树，也就是说，要想达到一样的疗效，使用RMQ算法可以花更少的时间！废话少说，赶紧来看今天的内容。

1、概述：

RMQ其实指的是一种经常使用的操作，RMQ(Range Minimum/Maximum Query)，即区间最值查询，是指这样一个问题：对于长度为n的数列A,回答若干询问RMQ（A，i，j），其中 i<=j<=n，返回数列A中下表在i，j之间的最小/最大值。这两个问题是在实际应用中经常遇到的问题，下面介绍一下解决这两种问题的比较高效的算法。当然，这个问题也可以用线段树（也叫做区间树）解决，算法复杂度为O（N）~O（NlogN），具体内容可以看以前的线段树内容。

2、RMQ算法

对于该问题，最容易想到的解决方案是遍历，复杂度是O（n）。但是当数据量非常大而且查询很频繁时，该算法无法在有效的时间内查询出正解。本文介绍了一种比较高效的在线算法来解决这个问题。所谓在线算法，是指用户每次输入一个查询，就马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理，待信息充足以后就可以用较少时间回答每个查询。ST算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法，它可以在O（NlogN）的时间内进行预处理，然后在O（1）时间内回答每个查询。

1）首先是预处理，用动态规划（DP）解决。

设A[i]是要求区间最值的数列，F[i,j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。(DP的状态)

例如：A数列为：3 2 4 5 6 8 1 2 9 7

令F[1,0]表示第一个数起，长度为2^0 = 1 的最大值，其实就只有 3 这一个数字。

同理，F[1,1]=max(3,2) =3;

F[1,2]=max(3,2,4,5)=5;

F[1,3]=max(3,2,4,5,6,7,1,2) = 8;

由于F[i,0]中只有一个数A[i]，所以F[i,0]的最大值一定等于A[i]。

这样，DP的初始状态，初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。

我们把F[i,j]平均分成两段(因为F[i,j]一定是偶数个数字)，从i到 i+2^(j-1) -1 为第一段，i+2^(j-1) 到 i+2^j - 1 为第二段，两段长度相同，都是 2^(j-1)。以上面的A数列为例，当i=1，j=3时就是3,2,4,5和6,8,1,2这两段。F[i,j]就是max(
max(F[1...4]),max(F[5...8]) ),于是我们可以推出状态转移方程：

F[i,j]= max( F[i,j-1] , F[i+2^(j-1),j-1])。

代码如下：

const int MAXN =50010;

int dp[MAXN][20];
int mm[MAXN];
//初始化RMQ，b数组下标是从1开始的
void initRMQ(int n, int b[])
{
mm[0] = -1;
for(int i = 1; i<=n;i++)
{
mm[i] = ((i&(i-1)) == 0) ? mm[i-1]+1:mm[i-1];
dp[i][0] = b[i];
}
for(int j = 1;j<=mm
;j++)
{
for(int i = 1; i +(1<<j)-1 <= n;i++)
// dp[i][j] = max(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
dp[i][j] = min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
}
其中n为RMQ需要初始化的长度，b[]为传入的区间的值，更新后，最大值关于mm和dp[][]相关。需要求max或者min时，把其中的max或者min改为相应需要求的问题即可。

这里我们需要注意的是循环的顺序，外层是j，内层是i，为什么呢？可以是i在外，j在内部吗？

答案是不可以，我们需要理解这个状态转移方程的意义。

状态转移方程的含义是：先更新所有长度为F[i,0]即一个元素，然后通过两个一个元素的最值，获得所有长度为F[i,1]即两个元素的最值，然后再通过2个2个元素的最值，获得所有长度为F[i,2]即4个元素的最值，以此类推更新所有长度最值。

而如果是i在外，j在内的话，我们更新的顺序就是F[1,0],F[1,1],F[1,2],F[1,3]，表示更新从1开始，1个元素，2个元素，4个元素，8个元素。这里F(1,3)=max(max(A[0],A[1],A[2],A[3]),max(A[4],A[5],A[6],A[7]))的值，但是我们根本没有计算max(A[0],A[1],A[2],A[3]),max(A[4],A[5],A[6],A[7])，所以这样的方法肯定是错的。

为了避免这样的错误，一定要好好理解这个状态转移方程所代表的含义。

接下来是查询操作：

int rmq(int x,int y)
{
int k = mm[y-x+1];
return min(dp[x][k],dp[y-(1<<k)+1][k]);
}输入x,y就可以查询在此区间内的最大值了。