《算法4》中的堆排序

因为要写STL中的heap，所以又将这本书中的归并排序复习了一下，并且有所收获，为了避免忘记，我准备将这些思路记下来：

堆排序有两个重要的动作：swim和sink：

下面写一下两个函数

void swim(int* num, int k, int N)
{
while(k > 1 && a[k/2] < a[k])
{
swap(a[k/2], a[k]);
k = k/2;
}
}

void sink(int* num, int k, int N)
{
while(2*k <= N)
{
int j = 2*k;
if(2*k < N && num[2*k] < num[2*k+1])
j++;
if(num[k] >= num[j])
break;
swap(num[k], num[j]);
k = j;
}
}

有了这两个函数，我们就可以构建堆排序了；

首先要构建堆，在构建堆的过程中，数组从左向右遍历并利用swim函数时可以构造成一个堆的，但这需要遍历数组中的全部数字；然而采用数组从右向左遍历并利用sink函数就可以仅仅遍历一般的数字，因为叶子节点不需要进行sink；

对于构建堆需要的复杂度是O(2N)，因为需要2N次的比较和N次的交换(交换和比较时一个算法中的主要成本，如果没有这两者再考虑存取的成本)，这里可以举例：对于一个127个元素的堆，在构建的时候：32个大小为3的堆(需要一次交换，两次比较)，16个大小为7的堆(两次交换三次比较)，8个大小为15的堆，4个大小为31的堆，2个大小为63的堆和1个大小为127的堆，一共就需要120交换和240比较。

之后就可以开始排序了：首先将堆顶的元素和数组的尾部元素交换，然后刷新数组的长度，让算法无法再访问这个数组尾部元素；

将每次都从最高的点插入堆尾的元素，然后利用sink下沉，重新adjust这个堆，以此类推，可以参考我这段代码;

while（N > 1）
{
swap(num[1], num[N--]);
sink(num, 1, N);
}

总体的思路就是这个样子，但是，如果遇到“比较”的成本特别大的时候，还可以采用如下的方法：

先下沉后上浮

我们可以这样来思考，处在数组尾部的元素一般都是比较小的元素，这样我们在把它放到堆顶后进行sink，一般它还是会下来的，那么我们为什么不直接将这个元素放到堆尾然后在swim上去呢？这样会减少很多次的比较，具体做法如下：

1.当我们将堆顶的元素放在数组尾部后，我们利用辅助空间暂时存储之前的堆尾元素temp，并不是将它放在堆顶；

2.现在堆顶是空的，我们不将temp放在上面，而是直接将堆顶对应的子节点中较大的那个节点bigger直接放上去（这样我们只需要比较一次哪个子节点大就可以了），然后这个bigger的位置就产生了空缺；

3.这个空缺的左右子节点继续比较产生较大的节点bigger`放在父节点空缺的位置上；

4.依次类推直到空缺的节点没有子节点；

5.将空缺的节点放上temp；

6.swim上浮

这个方法需要一个辅助空间，如果条件允许的话便可以用；而这种方法产生的比较次数几乎就成为了N；这个方法是Floyd在1964年改善的，我觉得十分不错；只是《算法4》中的描述我不太习惯，换成我习惯方式^^;