Codeforces 553B Kyoya and Permutation

problem

题意

本题题意不太容易看懂。给定一个序列，我们可以把这个序列变成一些循环置换的和。然而这种置换的方法是不止一种的。我们定义一种

standard cyclic representation

，即每个循环置换中最大的数都在第一个。把得到的循环置换的括号去掉，我们可以得到一个新的序列。定义一个序列，使得它变成置换后再去掉括号得到的新序列和原序列相同，那么称这样的序列是稳定的。给定一个n（序列长度）和k，要求求出所有稳定序列按字典序排序后的第k大序列。

思路

首先我们可以证明，稳定序列是具有一定性质的。第一，

1,2,3...n

这种序列是稳定序列。第二，所有的稳定序列都是由

1,2,3...n

这种序列经过相邻的数交换得来的，并且每个数只能被交换一次。

这是因为，稳定的置换中，每个循环置换的长度不可能超过2。因为长度为3的循环置换就已经不可能找出了，故长度大于4的也不可能找出。

有了这个性质，可以推知，对于长度为n的序列，共有

fib

种稳定序列。

我们对每一位进行判断。如果当前的

k<fib[n-i]

说明当前位无需发生改变，否则就交换当前位和下一位，并且在k中减去不交换的序列数，即

fib[n-i]

。最后输出答案即可。

AC代码

/*written by znl1087*/
#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
LL fib[51],k;
int n;
int ans[51];
int main()
{
fib[0] = fib[1] = 1LL;
for(int i=2;i<=51;i++)fib[i] = fib[i-1]+fib[i-2];
cin>>n>>k;
k--;
for(int i=1;i<=n;i++)ans[i] = i;
for(int i=1;i<=n;){
if(k < fib[n-i])
i++;
else{
swap(ans[i],ans[i+1]);
k-=fib[n-i];
i+=2;
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)cout<<ans[i]<<(i == n?'\n':' ');
return 0;
}