最长公共子序列的另一类优化方法

最长公共子序列（LCS）是一个很经典的问题。 给2个字符串s1,s2,求LCS(s1,s2). 用d[i][j]]表示s1[1-i]和是s2[1-j]的LCS.

if(s1[i]==s2[j]) d[i][j]=d[i-1][j-1]+1

else d[i][j]=max(d[i-1][j],d[I][j-1]).

这是一个1D/1D的动态规划问题，复查度为O(n*n)。 考虑如下特殊的LCS问题.求2个全排列p1,p2的LCS。

这个问题的特殊性在于，每个数只出现一次。我们观察转移方程，只有在是p1[i]==p2[j] 的时候才会出现+1的转移。那么其实有

我们用pari[i]表示s1[i]在s2[i]中出现的位置。 可以得出d[i][pari[i]]=max{d[l'][j']}+1 .i>l;.pari[i]>j'。这样可以用一个数据结构在维护，复杂度可以降低到nlogn级别

例1：

uva10635

#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int inf  = 0x3fffffff;
const int mmax = 250*250+10;
map<int,int>q;
int p1[mmax],p2[mmax];
int pos[mmax];
int C[mmax];
int n;
int low_bit(int x)
{
return x&(-x);
}
void update(int pos,int val)
{
for(int i=pos;i<=n;i+=low_bit(i))
C[i]=max(C[i],val);
}
int get_max(int x)
{
int ans=0;
for(int i=x;i>0;i-=low_bit(i))
ans=max(ans,C[i]);
return ans;
}
int main()
{
int t,ca=0;
cin>>t;
while(t--)
{
int d,l1,l2;
q.clear();
scanf("%d %d %d",&d,&l1,&l2);
l1++,l2++;
for(int i=1;i<=l1;i++)
scanf("%d",&p1[i]);
for(int i=1;i<=l2;i++)
{
scanf("%d",&p2[i]);
q[p2[i]]=i;
}
memset(C,0,sizeof C);
n=l2;
int ans=0;
for(int i=1;i<=l1;i++)
{
if(!q.count(p1[i]))
continue;
int y=q[p1[i]];
int tmp=get_max(y)+1;
ans=max(ans,tmp);
update(y,tmp);
}
printf("Case %d: %d\n",++ca,ans);
}
return 0;
}

这题还有一种特别的解法,用映射的手段，吧s1的映射成，1,2,3,4.。。。n,求s2 的最长上升序列。用n*logn的算法

#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int inf  = 0x3fffffff;
const int mmax = 250*250+10;
int p1[mmax],p2[mmax];
int dp[mmax];
map<int,int>q;
int main()
{
int t,ca=0;
cin>>t;
while(t--)
{
int d,l1,l2;
q.clear();
scanf("%d %d %d",&d,&l1,&l2);
l1++,l2++;
for(int i=1;i<=l1;i++)
{
scanf("%d",&p1[i]);
q[p1[i]]=i;
}
for(int i=1;i<=l2;i++)
{
int x;
scanf("%d",&x);
if(!q.count(x))
p2[i]=0;
else
p2[i]=q[x];
}
int len=1;
dp[1]=p2[1];
for(int i=2;i<=l2;i++)
{
int l=1,r=len+1;
int mid=(l+1)>>1;
while(l<r)
{
mid=(l+r)>>1;
if(dp[mid]<p2[i])
l=mid+1;
else
r=mid;
}
dp[r]=p2[i];
if(r==len+1)
len++;
}
printf("Case %d: %d\n",++ca,len);
}
return 0;
}

例题2
解法自行YY，给出AC代码

#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int inf  = 0x3fffffff;
const int mmax =100010;
map<int,int>q;
int p1[mmax],p2[mmax];
int next[mmax];
int C[mmax];
int n;
int low_bit(int x)
{
return x&(-x);
}
void update(int pos,int val)
{
for(int i=pos;i<=n;i+=low_bit(i))
C[i]=max(C[i],val);
}
int get_max(int x)
{
int ans=0;
for(int i=x;i>0;i-=low_bit(i))
ans=max(ans,C[i]);
return ans;
}
int main()
{
while(cin>>n)
{
n*=5;
q.clear();
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&p1[i]);
memset(next,-1,sizeof next);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&p2[i]);
if(!q.count(p2[i]))
q[p2[i]]=i;
else
{
next[i]=q[p2[i]];
q[p2[i]]=i;
}
}
memset(C,0,sizeof C);
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(!q.count(p1[i]))
continue;
int y=q[p1[i]];
while(y+1)
{
int tmp=get_max(y-1)+1;
ans=max(ans,tmp);
update(y,tmp);
y=next[y];
}
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}