BZOJ3233 [Ahoi2013]找硬币（线性筛+dp）

【题解】

本蒻一直在想二维dp，看了题解才发现竟然一维就可以

设f[i]为最大面值为i时，买下所有兔纸花费的最小硬币数

f[i] = min{ f[j] - sigma(a[k]/i*(i/j-1)) } , j|i，其中，j为次大面值，这个方程考虑的是选了i能减小多少j的使用

注意，如果硬币种类很多，是不影响最优答案的(不用就行了) -----------> 重要的性质

所以，可以在枚举j的这一步下手优化：

规定i/j必须为质数，否则可以在它们之间加一个面值k，使 i/k,k/j都是质数，不影响答案

可以在线性筛的过程中求出数组min[i]:i的最小质因子，用它实现：仅枚举i的质因子作为i/j的值

n的质因子个数是log(n)级别的，复杂度：O( n*Max*log(Max) )

【代码】

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int a[100005],f[100005],pri[100005],min[100005];
int main()
{
	int n,i,j,k,Ma=0,cnt=0,t,ans;
	scanf("%d",&n);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		f[1]+=a[i];
		if(Ma<a[i]) Ma=a[i];
	}
	for(i=2;i<=Ma;i++)
	{
		if(min[i]==0)
		{
			pri[++cnt]=i;
			min[i]=i;
		}
		for(j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<=Ma;j++)
		{
			min[pri[j]*i]=pri[j];
			if(i%pri[j]==0) break;
		}
	}
	for(i=2;i<=Ma;i++)
		f[i]=f[1];
	ans=f[1];
	for(i=2;i<=Ma;i++)
	{
		j=i;
		while(j>1)
		{
			t=f[i/min[j]];
			for(k=1;k<=n;k++)
				t-=a[k]/i*(min[j]-1);
			if(f[i]>t) f[i]=t;
			while(min[j]==min[j/min[j]]) j/=min[j];
			j/=min[j];
		}
		if(ans>f[i]) ans=f[i];
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}