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动态规划--矩阵链乘法

1、矩阵乘法

　


　　

Note：只有当矩阵A的列数与矩阵B的行数相等时A×B才有意义。一个m×r的矩阵A左乘一个r×n的矩阵B，会得到一个m×n的矩阵C。

#include <iostream>
using namespace std;
#define A_ROWS        3
#define A_COLUMNS     2
#define B_ROWS        2
#define B_COLUMNS     3
void matrix_multiply(int A[A_ROWS][A_COLUMNS],int B[B_ROWS][B_COLUMNS],int C[A_ROWS][B_COLUMNS]);
int main()
{
int A[A_ROWS][A_COLUMNS] = {1,0,
1,2,
1,1};
int B[B_ROWS][B_COLUMNS] = {1,1,2,
2,1,2};
int C[A_ROWS][B_COLUMNS] = {0};
matrix_multiply(A,B,C);
for(int i=0;i<A_ROWS;i++)
{
for(int j=0;j<B_COLUMNS;j++)
cout<<C[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}
return 0;
}
void matrix_multiply(int A[A_ROWS][A_COLUMNS],int B[B_ROWS][B_COLUMNS],int C[A_ROWS][B_COLUMNS])
{
if(A_COLUMNS != B_ROWS)
cout<<"error: incompatible dimensions."<<endl;
else
{
int i,j,k;
for(i=0;i<A_ROWS;i++)
for(j=0;j<B_COLUMNS;j++)
{
C[i][j] = 0;
for(k=0;k<A_COLUMNS;k++)
C[i][j] += A[i][k] * B[k][j]; //将A的每一行的每一列与B的每一列的每一行的乘积求和
}
}
}

结果：

1 1 2
5 3 6
3 2 4

2、矩阵链乘问题描述

　　给定n个矩阵构成的一个链<A1,A2,A3,.......An>，其中i=1,2,...n，矩阵A的维数为pi-1pi，对乘积 A1A2...An 以一种最小化标量乘法次数的方式进行加全部括号。

　　注意：在矩阵链乘问题中，实际上并没有把矩阵相乘，目的是确定一个具有最小代价的矩阵相乘顺序。找出这样一个结合顺序使得相乘的代价最低。

3、动态规划分析过程

1）最优加全部括号的结构

　　动态规划第一步是寻找一个最优的子结构。假设现在要计算AiAi+1....Aj的值，计算Ai...j过程当中肯定会存在某个k值（i<=k<j）将Ai...j分成两部分，使得Ai...j的计算量最小。分成两个子问题Ai...k和Ak+1...j，需要继续递归寻找这两个子问题的最优解。

　　有分析可以到最优子结构为：假设AiAi+1....Aj的一个最优加全括号把乘积在Ak和Ak+1之间分开，则Ai..k和Ak+1..j也都是最优加全括号的。

2）一个递归解

　　设m[i,j]为计算机矩阵Ai...j所需的标量乘法运算次数的最小值，对此计算A1..n的最小代价就是m[1,n]。现在需要来递归定义m[i,j]，分两种情况进行讨论如下：

　　当i==j时：m[i,j] = 0，（此时只包含一个矩阵）

　　当i<j 时：从步骤1中需要寻找一个k（i≤k＜j）值，使得m[i,j] ＝min{m[i,k]+m[k+1,j]+pi-1pkpj} （i≤k＜j）。

3）计算最优代价

　　设矩阵Ai的维数为pi- 1pi，i=1,2.....n。输入序列为：p=<p0，p1,...pn>，length[p] = n+1。使用m

保存m[i,j]的代价，s

保存计算m[i,j]时取得最优代价处k的值，最后可以用s中的记录构造一个最优解。 书中给出了计算过程的伪代码，摘录如下：

MAXTRIX_CHAIN_ORDER(p)
n = length[p]-1;
for i=1 to n
do m[i][i] = 0;
for t = 2 to n  //t is the chain length
do for i=1 to n-t+1
j=i+t-1;
m[i][j] = MAXLIMIT;
for k=i to j-1
q = m[i][k] + m[k+1][i] + qi-1qkqj;
if q < m[i][j]
then m[i][j] = q;
s[i][j] = k;
return m and s;

MATRIX_CHAIN_ORDER具有循环嵌套，深度为3层，运行时间为O(n3)。如果采用递归进行实现，则需要指数级时间Ω(2n)，因为中间有些重复计算。递归是完全按照第二步得到的递归公式进行计算，递归实现如下所示：

int recursive_matrix_chain(int *p,int i,int j,int m[N+1][N+1],int s[N+1][N+1])
{
if(i==j)
m[i][j] = 0;
else
{
int k;
m[i][j] = MAXVALUE;
for(k=i;k<j;k++)
{
int temp = recursive_matrix_chain(p,i,k,m,s) +recursive_matrix_chain(p,k+1,j,m,s) + p[i-1]*p[k]*p[j];
if(temp < m[i][j])
{
m[i][j] = temp;
s[i][j] = k;
}
}
}
return m[i][j];
}

对递归算计的改进，可以引入备忘录，采用自顶向下的策略，维护一个记录了子问题的表，控制结构像递归算法。完整程序如下所示：

int memoized_matrix_chain(int *p,int m[N+1][N+1],int s[N+1][N+1])
{
int i,j;
for(i=1;i<=N;++i)
for(j=1;j<=N;++j)
{
m[i][j] = MAXVALUE;
}
return lookup_chain(p,1,N,m,s);
}

int lookup_chain(int *p,int i,int j,int m[N+1][N+1],int s[N+1][N+1])
{
if(m[i][j] < MAXVALUE)
return m[i][j]; //直接返回，相当于查表
if(i == j)
m[i][j] = 0;
else
{
int k;
for(k=i;k<j;++k)
{
int temp = lookup_chain(p,i,k,m,s)+lookup_chain(p,k+1,j,m,s) + p[i-1]*p[k]*p[j];  //通过递归的形式计算，只计算一次，第二次查表得到
if(temp < m[i][j])
{
m[i][j] = temp;
s[i][j] = k;
}
}
}
return m[i][j];
}

4)构造一个最优解

第三步中已经计算出来最小代价，并保存了相关的记录信息。因此只需对s表格进行递归调用展开既可以得到一个最优解。书中给出了伪代码，摘录如下：

PRINT_OPTIMAL_PARENS(s,i,j)
if i== j
then print "Ai"
else
print "(";
PRINT_OPTIMAL_PARENS(s,i,s[i][j]);
PRINT_OPTIMAL_PARENS(s,s[i][j]+1,j);
print")";

[b]4、编程实现[/b]

　　采用C++语言实现这个过程，现有矩阵A1(30×35)、A2(35×15)、A3(15×5)、A4(5×10)、A5(10×20)、A6(20×25)，得到p=<30,35,15,5,10,20,25>。实现过程定义两个二维数组m和s，为了方便计算其第一行和第一列都忽略，行标和列标都是1开始。完整的程序如下所示：

#include <iostream>
using namespace std;

#define N 6
#define MAXVALUE 1000000

void matrix_chain_order(int *p,int len,int m[N+1][N+1],int s[N+1][N+1]);
void print_optimal_parents(int s[N+1][N+1],int i,int j);

int main()
{
int p[N+1] = {30,35,15,5,10,20,25};
int m[N+1][N+1]={0};
int s[N+1][N+1]={0};
int i,j;
matrix_chain_order(p,N+1,m,s);
cout<<"m value is: "<<endl;
for(i=1;i<=N;++i)
{
for(j=1;j<=N;++j)
cout<<m[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}
cout<<"s value is: "<<endl;
for(i=1;i<=N;++i)
{
for(j=1;j<=N;++j)
cout<<s[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}
cout<<"The result is:"<<endl;
print_optimal_parents(s,1,N);
return 0;
}

void matrix_chain_order(int *p,int len,int m[N+1][N+1],int s[N+1][N+1])
{
int i,j,k,t;
for(i=0;i<=N;++i)
m[i][i] = 0;
for(t=2;t<=N;t++)  //当前链乘矩阵的长度
{
for(i=1;i<=N-t+1;i++)  //从第一矩阵开始算起，计算长度为t的最少代价
{
j=i+t-1;//长度为t时候的最后一个元素
m[i][j] = MAXVALUE;  //初始化为最大代价
for(k=i;k<=j-1;k++)   //寻找最优的k值，使得分成两部分k在i与j-1之间
{
int temp = m[i][k]+m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];
if(temp < m[i][j])
{
m[i][j] = temp;   //记录下当前的最小代价
s[i][j] = k;      //记录当前的括号位置，即矩阵的编号
}
}
}
}
}

//s中存放着括号当前的位置
void print_optimal_parents(int s[N+1][N+1],int i,int j)
{
if( i == j)
cout<<"A"<<i;
else
{
cout<<"(";
print_optimal_parents(s,i,s[i][j]);
print_optimal_parents(s,s[i][j]+1,j);
cout<<")";
}

}

结果：



5、总结

　　动态规划解决问题关键是分析过程，难度在于如何发现其子问题的结构及子问题的递归解。这个需要多多思考，不是短时间内能明白。在实现过程中遇到问题就是数组，数组的下标问题是个比较麻烦的事情，如何能够过合理的去处理，需要一定的技巧。