GMM高斯混合模型学习笔记（EM算法求解）

提出混合模型主要是为了能更好地近似一些较复杂的样本分布，通过不断增加component个数，可以任意地逼近任何连续的概率分布，所以我们认为任何样本分布都可以用混合模型来建模。因为高斯函数具有一些很实用的性质，所以高斯混合模型被广泛地使用。

GMM与kmeans类似，也是属于clustering，不同的是，kmeans是把每个样本点聚到其中一个cluster，而GMM是给出这些样本点到每个cluster的概率，每个component就是一个聚类中心。

GMM(Gaussian Mixture Model)高斯混合模型，由K个不同的Gaussian线性组合而成，每个Gaussian是混合模型的一个component，GMM的概率密度函数如下：

p(x)=∑k=1Kp(k)(x|k)=∑k=1Kπk(x|μk,∑k)p(x)=\sum_{k=1}^Kp(k)(x|k) =\sum_{k=1}^K\pi_k\mathcal N(x|\mu_k,\sum_k)

根据上式，从GMM中生成一个样本点x分两步：

1，从K个component中随机的选择一个

2，从该component中选择一个点

参数说明：N个样本点，K个component，μk,∑k\mu_k,\sum_k 是第k个component的均值和协方差矩阵，是模型参数，是需要估计的。πk\pi_k是mixing coefficient，表示第k个component被选中的概率，πk=1N∑Nn=1znk\pi_k=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N\mathbf z_{nk}，也是模型参数，需要估计。N是高斯（正态）分布。

对一个样本集建立高斯混合模型的过程，就是根据已知样本集X反推高斯混合模型的参数(μ,∑,π\mu,\sum,\pi)，这是一个参数估计问题。首先想到用最大似然的方法求解，也就是，要确定参数π,μ,∑\pi,\mu,\sum使得它所确定的概率分布生成这些样本点的概率最大，这个概率也就是似然函数，如下：

p(x)=∏n=1Np(xi)p(x)=\prod_{n=1}^Np(x_i)

而一般对于单个样本点其概率较小，多个相乘后更小，容易造成浮点数下溢，所以一般是对似然函数求log，变成加和形式：

∑i=1Nlnp(xi)\sum_{i=1}^Nlnp(x_i)

这个叫做log似然函数，目标是要最大化它。用log似然函数对参数分别求偏导，令偏导等于0，可求解得参数。

然而，GMM的log似然函数是如下形式：

lnp(X)=∑i=1Nln[∑k=1Kπk(xi|μk,∑k)]lnp(X)=\sum_{i=1}^Nln[\sum_{k=1}^K\pi_k\mathcal N(x_i|\mu_k,\sum_k)]

可以看到对数中有求和，直接求导求解将导致一系列复杂的运算，故考虑使用EM算法。（具体思路见上一篇：EM算法学习笔记）

考虑GMM生成一个样本点的过程，这里对每个xi\mathbf x_i引入隐变量z，z是一个K维向量，如果生成xi\mathbf x_i时选择了第k个component，则zk=1\mathbf z_k=1，其他元素都为0，∑Kk=1zk=1\sum_{k=1}^K\mathbf z_k=1.

假设z是已知的，则样本集变成了{X,Z}，要求解的似然函数变成了：

p(X,Z|μ,∑,π)=∏n=1N∏k=1Kπznkk(xn|μk,∑k)znkp(X,Z|\mu,\sum,\pi)=\prod_{n=1}^N\prod_{k=1}^K\pi_k^{z_{nk}}\mathcal N(\mathbf x_n|\mu_k,\sum_k)^{z_{nk}}

log似然函数为：

lnp(X,Z|μ,∑,π)=∑n=1N∑k=1Kznk[lnπk+ln(xn|μk,∑k)].(∗)lnp(X,Z|\mu,\sum,\pi)=\sum_{n=1}^N\sum_{k=1}^K\mathbf z_{nk}[ln\pi_k + ln\mathcal N(\mathbf x_n|\mu_k,\sum_k)].(*)

可以看到，这次ln直接对Gaussian作用，求和在ln外面，所以可以直接求最大似然解了。

1,初始化一组模型参数π,μ,∑\pi,\mu,\sum

2,E-step

然而，事实上z是不知道的，我们只是假设z已知。而z的值是通过后验概率观测，所以这里考虑用z值的期望在上述似然函数中代替z。

对于一个样本点x\mathbf x：

p(z)=∏k=1Kπzkkp(\mathbf z)=\prod_{k=1}^K\pi_k^{z_k}

p(x|zk=1)=(x|μk,∑k)p(\mathbf x|\mathbf z_k=1)=\mathcal N(x|\mu_k,\sum_k)

p(x|z)=∏k=1K(x|μk,∑k)zkp(\mathbf x|\mathbf z)=\prod_{k=1}^K\mathcal N(\mathbf x|\mu_k,\sum_k)^{z_k}

p(x)=∑zp(z)p(x|z)=∑k=1Kπk(x|μk,∑k)p(\mathbf x)=\sum_zp(\mathbf z)p(\mathbf x|\mathbf z)=\sum_{k=1}^K\pi_k\mathcal N(\mathbf x|\mu_k,\sum_k)

后验概率（固定μ,∑,π\mu,\sum,\pi）：

p(z|x,μ,∑,π)=p(x|z)p(z)p(x)正比于∏n=1N∏k=1K[πk(xn|μk,∑k)]znkp(\mathbf z|\mathbf x,\mu,\sum,\pi)=\frac{p(\mathbf x|\mathbf z)p(\mathbf z)}{p(\mathbf x)}正比于\prod_{n=1}^N\prod_{k=1}^K[{\pi_k\mathcal N(x_n|\mu_k,\sum_k)}]^{z_{nk}}

因为{zn\mathbf z_n}之间是相互独立的。

计算z期望γ(znk)\gamma(\mathbf z_{nk})（z向量只有一个值取1，其余为0）：

γ(znk)=E[znk]=0∗p(znk=0|xn)+1∗p(znk=1|xn)=p(znk=1|xn)=p(znk=1)p(xn|znk=1)p(xn)=πk(x|μk,∑k)∑Kj=1πj(x|μj,∑j).\gamma(\mathbf z_{nk})=E[\mathbf z_{nk}]=0*p(\mathbf z_{nk}=0|\mathbf x_n)+1*p(\mathbf z_{nk}=1|\mathbf x_n)=p(\mathbf z_{nk}=1|\mathbf x_n)=\frac{p(\mathbf z_{nk}=1)p(\mathbf x_n|\mathbf z_{nk}=1)}{p(\mathbf x_n)}=\frac{\pi_k\mathcal N(\mathbf x|\mu_k,\sum_k)}{\sum_{j=1}^K\pi_j\mathcal N(\mathbf x|\mu_j,\sum_j)}.

将z值用期望代替，则待求解的log似然函数(*)式变为：

Ez[lnp(X,Z|μ,∑,π)]=∑n=1N∑k=1Kγ(znk)[lnπk+ln(xn|μk,∑k)].E_z[lnp(X,Z|\mu,\sum,\pi)]=\sum_{n=1}^N\sum_{k=1}^K\gamma (\mathbf z_{nk})[ln\pi_k + ln\mathcal N(\mathbf x_n|\mu_k,\sum_k)].

3,M-step

现在可以最大化似然函数求解参数了，首先对μ\mu求偏导，令偏导等于0，可得：

∑n=1N∑k=1Kγ(znk)∑k(xn−μk)=0\sum_{n=1}^N\sum_{k=1}^K\gamma (\mathbf z_{nk})\sum_k(\mathbf x_n-\mu_k)=0

μk=1Nk∑n=1Nγ(znk)xn，其中Nk=∑n=1Nγ(znk).\mu_k=\frac{1}{N_k}\sum_{n=1}^N\gamma (\mathbf z_{nk}){\mathbf x_n}，其中N_k=\sum_{n=1}^N\gamma (\mathbf z_{nk}).

NkN_k 是“the effective number of points assigned to cluster k”.

再对∑k\sum_k求偏导，令偏导等于0，可得：

∑k=1Nk∑n=1Nγ(znk)(xn−μk)(xn−μk)T\sum_k=\frac{1}{N_k}\sum_{n=1}^N\gamma (\mathbf z_{nk})(\mathbf x_n-\mu_k)(\mathbf x_n-\mu_k)^T

接下来还需求解π\pi，注意到π\pi需满足∑Kk=1πk=1\sum_{k=1}^K\pi_k=1，所以这是一个带等式约束的最大值问题，使用拉格朗日乘数法。

构造拉格朗日函数：

L=lnp(X|π,μ,∑)+λ(∑k=1Kπk−1).L=lnp(X|\pi,\mu,\sum)+\lambda(\sum_{k=1}^K\pi_k-1).

对π\pi求导，令导数为0：

∑n=1N(x|μk,∑k)∑Kj=1πj(x|μj,∑j)+λ=0\sum_{n=1}^N\frac{\mathcal N(\mathbf x|\mu_k,\sum_k)}{\sum_{j=1}^K\pi_j\mathcal N(\mathbf x|\mu_j,\sum_j)}+\lambda=0

两边同乘πk\pi_k得：

∑n=1Nγ(znk)+λπk=0\sum_{n=1}^N\gamma (\mathbf z_{nk}) + \lambda\pi_k=0

Nk+λπk=0N_k+\lambda\pi_k=0

两边对k求和：

∑k=1KNk+∑k=1Kλπk=0\sum_{k=1}^KN_k+\sum_{k=1}^K\lambda\pi_k=0

N+λ=0N+\lambda=0

可得：λ=−N\lambda=-N

代入可得：πk=NkN.\pi_k=\frac{N_k}{N}.

4,检查是否收敛

重复E-step和M-step两步，直到收敛，即可求得一个局部最优解。

GMM的建模过程如下图（k=2,高斯分布是蓝色和红色圈）：



主要参考资料：

《Pattern Recognization and Machine Learning》

帮助理解：

http://blog.pluskid.org/?p=39