ARIMA(p,d,q)模型-1-MA模型

1. ARIMA模型介绍

ARIMA并不是一个特定的模型，而是一类模型的总称。他的3个参数p, d, q分别表示自相关(p阶AR模型)， d次差分，滑动平均(q阶MA模型)。因此有，

- p = d = 0, ARIMA模型即MA(q)模型；

- d = q = 0, ARIMA模型即AR(p)模型；

2. MA模型含义

当前时刻的值可以表示为过去干扰项和当前干扰项的线性组合。

3. MA模型描述

3.1 符号和前提

xt: t时刻的值

εt:εt∼WN(0,δ2)，白噪声序列

θi: 参数

3.2 MA(1): 一阶移动平均模型

3.2.1 推导公式

xt=εt−θ1εt−1,θ1≠0.

3.2.2 统计性质

E(xt)=E(εt)−θ1E(εt−1)=0

Var(xt)=Var(εt)+θ21Var(εt−1)=(1+θ2)σ2

γt,s=Cov(εt−θεt−1,εs−θεs−1)=Cov(εt,εs)−θCov(εt,εs−1)−θCov(εt−1,εs)+θ2Cov(εt−1,εs−1)

考虑时滞 k = |t -s|， 有：

γk=⎧⎩⎨⎪⎪(1+θ2)σ2−θσ20(k=0)(k=1)(k>1)

同样的有，自相关系数：

ρk=⎧⎩⎨⎪⎪1(−θ)/(1+θ2)0(k=0)(k=1)(k>1)

3.3 MA(q): q阶移动平均模型

3.3.1 推导公式

xt=εt−θ1εt−1−...−θqεt−q,θ1≠0.

注：以上我们讨论的都是去中心化的MA，针对非去中心化的MA，即其期望不为0，可简单的使 xt′=xt−μ 即得到去中心化的MA。

3.3.2 统计性质

E(xt)=E(εt−θ1εt−1−...−θqεt−q)=0

Var(xt)=Var(εt−θ1εt−1−...−θqεt−q)=(1+θ21+...+θ2q)δ2

自协方差函数：

γk=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪(1+θ21+...+θ2q)σ2(−θk+Σq−ki=1θiθk+i)σ20(k=0)(1≤k≤q)(k>q)

自相关函数：

ρk=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪1(−θk+Σq−ki=1θiθi+k)/(1+θ21+...+θ2q)0(k=0)(1≤k≤q)(k>q)

3.3.3 性质说明

一般的，MA(q)模型是一个平稳模型，并且在时滞大于q后没有相关性。

4. MA(2)示例

4.1 R代码

wn <- rnorm(100, mean=0, sd=1);
x <- c();
x[1] <- wn[1];
x[2] <- wn[2] + 0.9 * wn[1];
for (i in 3:length(wn)) {
x[i] <- wn[i] - (-0.796) * wn[i-1] - (- 0.32) * wn[i - 2];
}
x.ts <- ts(x)
plot(x.ts main="MA(2)", type="b");

4.2 时间序列图

4.3 自相关系数图

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