【C语言/算法之 01 背包】基础版

设有一个背包可以放入的物品重量为V，现有n件物品，重量分别是 c1,c2,c3,…cn，价值分别为 w1,w2,w3,…wn。

问能否从这n件物品中选择若干件放入背包中，使得放入的物品的价值和最大？

[基本思路]：

01 背包问题 0 表示不放入，1 表示放入。

用子问题定义状态：即

f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获取得到的最大价值。

可以得到以下状态转移方程。

f[i][v] = max {f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]] + w[i]} ;

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

#include <stdio.h>
#include <string.h>

#define max(a,b) ((a>b)?a:b)

int main()
{
int i,j;
/**
* 最大重量 V = 20
* 物体总共个数 N = 5
*/
int V = 20, N = 5;
/**
* 每个物体的重量
*/
int Weight[6] = {0, 1, 3, 5, 7, 9};
/**
* 每个物体的价值
*/
int Value[6] =  {0, 10, 2, 5, 4, 3};
/**
* 辅助数组
*/
int f[6][21];

memset(f,0,sizeof(f));

for (i = 1; i <= N; i++)
{
for (j = 1; j <= V; j++)
{
/**
* j-Weight[i] == 0 表示该物体的重量刚好等于最大允许重量
*/
if (j-Weight[i] >= 0)
{
f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-Weight[i]] + Value[i]);
}
else
{
f[i][j] = f[i-1][j];
}

printf("%-5d",f[i][j]);
}

printf("\n");
}

printf("The final result = %d",f[5][20]);

return 0;
}

输出结果如下：

10   10   10   10   10   10   10   10   10   10   10   10   10   10   10   10   10   10   10   10  

10   10   10   12   12   12   12   12   12   12   12   12   12   12   12   12   12   12   12   12  

10   10   10   12   12   15   15   15   17   17   17   17   17   17   17   17   17   17   17   17  

10   10   10   12   12   15   15   15   17   17   17   17   19   19   19   21   21   21   21   21  

10   10   10   12   12   15   15   15   17   17   17   17   19   19   19   21   21   21   21   21  
The final result = 21

Question:如何将2维数组 f转换成为1维数组
??
f[i][v] = max {f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]] + w[i]} ;

根据公式可以知道，f[i][v] 只和上一行[1,v] 之间的数相关，于是我们简化二维数组变成一维数组存储。而必须优先计算f[v]，因为从前到后操作会破快之前上一行保留下来的数据，造成错误。
代码如下：

#include <stdio.h>
#include <string.h>

#define max(a,b) ((a>b)?a:b)

int main()
{
int i,j;
/**
* 最大重量 V = 20
* 物体总共个数 N = 5
*/
int V = 20, N = 5;
/**
* 每个物体的重量
*/
int Weight[6] = {0, 1, 3, 5, 7, 9};
/**
* 每个物体的价值
*/
int Value[6] =  {0, 10, 2, 5, 4, 3};
/**
* 辅助数组
*/
//	int f[6][21];
int f[21];

memset(f,0,sizeof(f));

for (i = 1; i <= N; i++)
{
for (j = V; j >= 1; j--)
{
/**
* j-Weight[i] == 0 表示该物体的重量刚好等于最大允许重量
*/
if (j-Weight[i] >= 0)
{
f[j] = max (f[j],f[j-Weight[i]]+Value[i]);
}

printf("%-5d",f[j]);
}

printf("\n");
}

printf("The final result = %d",f[20]);

return 0;
}