压缩感知重构算法之分段弱正交匹配追踪(SWOMP)

题目：压缩感知重构算法之分段弱正交匹配追踪(SWOMP)

分段弱正交匹配追踪(StagewiseWeak OMP)可以说是StOMP的一种改进算法，它们的唯一不同是选择原子时的门限设置，这可以降低对测量矩阵的要求。我们称这里的原子选择方式为“弱选择”（Weak Selection），详见文献[1]的第3部分“III. STAGEWISE WEAK ELEMENTSELECTION”。以下内容结构安排包括代码都参考了《压缩感知重构算法之分段正交匹配追踪(StOMP)》。

0、符号说明如下：

压缩观测y=Φx，其中y为观测所得向量M×1，x为原信号N×1（M<<N）。x一般不是稀疏的，但在某个变换域Ψ是稀疏的，即x=Ψθ，其中θ为K稀疏的，即θ只有K个非零项。此时y=ΦΨθ，令A=ΦΨ，则y=Aθ。

(1) y为观测所得向量，大小为M×1

(2)x为原信号，大小为N×1

(3)θ为K稀疏的，是信号在x在某变换域的稀疏表示

(4) Φ称为观测矩阵、测量矩阵、测量基，大小为M×N

(5) Ψ称为变换矩阵、变换基、稀疏矩阵、稀疏基、正交基字典矩阵，大小为N×N

(6)A称为测度矩阵、传感矩阵、CS信息算子，大小为M×N

上式中，一般有K<<M<<N，后面三个矩阵各个文献的叫法不一，以后我将Φ称为测量矩阵、将Ψ称为稀疏矩阵、将A称为传感矩阵。

注意：这里的稀疏表示模型为x=Ψθ，所以传感矩阵A=ΦΨ；而有些文献中稀疏模型为θ=Ψx，而一般Ψ为Hermite矩阵(实矩阵时称为正交矩阵)，所以Ψ-1=ΨH
(实矩阵时为Ψ-1=ΨT)，即x=ΨHθ，所以传感矩阵A=ΦΨH，例如沙威的OMP例程中就是如此。

1、SWOMP重构算法流程：





2、分段弱正交匹配追踪(SWOMP)Matlab代码(CS_SWOMP.m)

代码基本与StOMP.m一致，不同之处只是修改了门限，为了测试α=1时的重构效果，门限比较时由StOMP的大于改为了大于等于。

function [ theta ] = CS_SWOMP( y,A,S,alpha )
%CS_SWOMP Summary of this function goes here
%Version: 1.0 written by jbb0523 @2015-05-11
%   Detailed explanation goes here
%   y = Phi * x
%   x = Psi * theta
%	y = Phi*Psi * theta
%   令 A = Phi*Psi, 则y=A*theta
%   S is the maximum number of SWOMP iterations to perform
%   alpha is the threshold parameter
%   现在已知y和A，求theta
%   Reference:Thomas Blumensath，Mike E. Davies．Stagewise weak gradient
%   pursuits[J]．IEEE Transactions on Signal Processing，2009，57(11)：4333-4346．
if nargin < 4
alpha = 0.5;%alpha范围(0,1),默认值为0.5
end
if nargin < 3
S = 10;%S默认值为10
end
[y_rows,y_columns] = size(y);
if y_rows<y_columns
y = y';%y should be a column vector
end
[M,N] = size(A);%传感矩阵A为M*N矩阵
theta = zeros(N,1);%用来存储恢复的theta(列向量)
Pos_theta = [];%用来迭代过程中存储A被选择的列序号
r_n = y;%初始化残差(residual)为y
for ss=1:S%最多迭代S次
product = A'*r_n;%传感矩阵A各列与残差的内积
sigma = max(abs(product));
Js = find(abs(product)>=alpha*sigma);%选出大于阈值的列
Is = union(Pos_theta,Js);%Pos_theta与Js并集
if length(Pos_theta) == length(Is)
if ss==1
theta_ls = 0;%防止第1次就跳出导致theta_ls无定义
end
break;%如果没有新的列被选中则跳出循环
end
%At的行数要大于列数，此为最小二乘的基础(列线性无关)
if length(Is)<=M
Pos_theta = Is;%更新列序号集合
At = A(:,Pos_theta);%将A的这几列组成矩阵At
else%At的列数大于行数，列必为线性相关的,At'*At将不可逆
if ss==1
theta_ls = 0;%防止第1次就跳出导致theta_ls无定义
end
break;%跳出for循环
end
%y=At*theta，以下求theta的最小二乘解(Least Square)
theta_ls = (At'*At)^(-1)*At'*y;%最小二乘解
%At*theta_ls是y在At列空间上的正交投影
r_n = y - At*theta_ls;%更新残差
if norm(r_n)<1e-6%Repeat the steps until r=0
break;%跳出for循环
end
end
theta(Pos_theta)=theta_ls;%恢复出的theta
end

3、SWOMP单次重构测试代码

以下测试代码基本与OMP单次重构测试代码一样。代码中“Phi = randn(M,N)/sqrt(M);%测量矩阵为高斯矩阵”并不像StOMP一样要求一定要除以sqrt(M)，这也是SWOMP对StOMP的最大改进之处。

%压缩感知重构算法测试
clear all;close all;clc;
M = 128;%观测值个数
N = 256;%信号x的长度
K = 30;%信号x的稀疏度
Index_K = randperm(N);
x = zeros(N,1);
x(Index_K(1:K)) = 5*randn(K,1);%x为K稀疏的，且位置是随机的
Psi = eye(N);%x本身是稀疏的，定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta
Phi = randn(M,N)/sqrt(M);%测量矩阵为高斯矩阵
A = Phi * Psi;%传感矩阵
y = Phi * x;%得到观测向量y
%% 恢复重构信号x
tic
theta = CS_SWOMP( y,A);
x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta
toc
%% 绘图
figure;
plot(x_r,'k.-');%绘出x的恢复信号
hold on;
plot(x,'r');%绘出原信号x
hold off;
legend('Recovery','Original')
fprintf('\n恢复残差：');
norm(x_r-x)%恢复残差

运行结果如下：（信号为随机生成，所以每次结果均不一样）

1）图：



2）Command windows

Elapsedtime is 0.093673 seconds.

恢复残差：

ans=

2.9037e-014

4、门限参数α、测量数M与重构成功概率关系曲线绘制例程代码

因为文献[1]中对门限参数α给出的是一个取值范围，所以有必要仿真α取不同值时的重构效果。以下的代码是基于StOMP相应的测试代码修改的，基本结构一样，只是α的测试值共10个，而在StOMP中ts的测试值共6个。

clear all;close all;clc;
%% 参数配置初始化
CNT = 1000;%对于每组(K,M,N)，重复迭代次数
N = 256;%信号x的长度
Psi = eye(N);%x本身是稀疏的，定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta
alpha_set = 0.1:0.1:1;
K_set = [4,12,20,28,36];%信号x的稀疏度集合
Percentage = zeros(N,length(K_set),length(alpha_set));%存储恢复成功概率
%% 主循环，遍历每组(alpha,K,M,N)
tic
for tt = 1:length(alpha_set)
alpha = alpha_set(tt);
for kk = 1:length(K_set)
K = K_set(kk);%本次稀疏度
%M没必要全部遍历，每隔5测试一个就可以了
M_set=2*K:5:N;
PercentageK = zeros(1,length(M_set));%存储此稀疏度K下不同M的恢复成功概率
for mm = 1:length(M_set)
M = M_set(mm);%本次观测值个数
fprintf('alpha=%f,K=%d,M=%d\n',alpha,K,M);
P = 0;
for cnt = 1:CNT %每个观测值个数均运行CNT次
Index_K = randperm(N);
x = zeros(N,1);
x(Index_K(1:K)) = 5*randn(K,1);%x为K稀疏的，且位置是随机的
Phi = randn(M,N)/sqrt(M);%测量矩阵为高斯矩阵
A = Phi * Psi;%传感矩阵
y = Phi * x;%得到观测向量y
theta = CS_SWOMP(y,A,10,alpha);%恢复重构信号theta
x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta
if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功
P = P + 1;
end
end
PercentageK(mm) = P/CNT*100;%计算恢复概率
end
Percentage(1:length(M_set),kk,tt) = PercentageK;
end
end
toc
save SWOMPMtoPercentage1000 %运行一次不容易，把变量全部存储下来
%% 绘图
for tt = 1:length(alpha_set)
S = ['-ks';'-ko';'-kd';'-kv';'-k*'];
figure;
for kk = 1:length(K_set)
K = K_set(kk);
M_set=2*K:5:N;
L_Mset = length(M_set);
plot(M_set,Percentage(1:L_Mset,kk,tt),S(kk,:));%绘出x的恢复信号
hold on;
end
hold off;
xlim([0 256]);
legend('K=4','K=12','K=20','K=28','K=36');
xlabel('Number of measurements(M)');
ylabel('Percentage recovered');
title(['Percentage of input signals recovered correctly(N=256,alpha=',...
num2str(alpha_set(tt)),')(Gaussian)']);
end
for kk = 1:length(K_set)
K = K_set(kk);
M_set=2*K:5:N;
L_Mset = length(M_set);
S = ['-ks';'-ko';'-kd';'-k*';'-k+';'-kx';'-kv';'-k^';'-k<';'-k>'];
figure;
for tt = 1:length(alpha_set)
plot(M_set,Percentage(1:L_Mset,kk,tt),S(tt,:));%绘出x的恢复信号
hold on;
end
hold off;
xlim([0 256]);
legend('alpha=0.1','alpha=0.2','alpha=0.3','alpha=0.4','alpha=0.5',...
'alpha=0.6','alpha=0.7','alpha=0.8','alpha=0.9','alpha=1.0');
xlabel('Number of measurements(M)');
ylabel('Percentage recovered');
title(['Percentage of input signals recovered correctly(N=256,K=',...
num2str(K),')(Gaussian)']);
end

本程序在联想ThinkPadE430C笔记本（4GBDDR3内存，i5-3210）上运行共耗时8430.877154秒（时间较长，运行时可以干点别的事情了），程序中将所有数据均通过“save SWOMPMtoPercentage1000”存储了下来，以后可以再对数据进行分析，只需“load
SWOMPMtoPercentage1000”即可。
程序运行结束会出现10+5=11幅图，前10幅图分别是α分别为0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9和1.0时的测量数M与重构成功概率关系曲线（类似于OMP此部分，这里只是对每一个不同的α画出一幅图），后5幅图是分别将稀疏度K为4、12、20、28、32时将十种α取值的测量数M与重构成功概率关系曲线绘制在一起以比较α对重构结果的影响。

以下是α分别为0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9和 1.0时的测量数M与重构成功概率关系曲线：





















以下是稀疏度K为4、12、20、28、32时将十种α取值的测量数M与重构成功概率关系曲线放在一起的五幅图：











对比可以看出，总体上讲α=0.5时效果较好，α=0.6在稀疏度较小时比α=0.5还好，但在K=36时不如α=0.5时。因此把α默认取为0.5即可。

5、结语

对比StOMP中ts=2.4与SWOMP中α=0.5的情况：

clear all;close all;clc;
load StOMPMtoPercentage1000;
PercentageStOMP = Percentage;
S = ['-ks';'-ko';'-kd';'-kv';'-k*'];
figure;
for kk = 1:length(K_set)
K = K_set(kk);
M_set=2*K:5:N;
L_Mset = length(M_set);
%ts_set = 2:0.2:3;第3个为2.4
plot(M_set,Percentage(1:L_Mset,kk,3),S(kk,:));%绘出x的恢复信号
hold on;
end
load SWOMPMtoPercentage1000;
PercentageSWOMP = Percentage;
S = ['-rs';'-ro';'-rd';'-rv';'-r*'];
for kk = 1:length(K_set)
K = K_set(kk);
M_set=2*K:5:N;
L_Mset = length(M_set);
%alpha_set = 0.1:0.1:1;第5个为0.5
plot(M_set,Percentage(1:L_Mset,kk,5),S(kk,:));%绘出x的恢复信号
hold on;
end
hold off;
xlim([0 256]);
legend('StK=4','StK=12','StK=20','StK=28','StK=36',...
'SWK=4','SWK=12','SWK=20','SWK=28','SWK=36');
xlabel('Number of measurements(M)');
ylabel('Percentage recovered');
title(['Percentage of input signals recovered correctly(N=256,ts=2.4,\alpha=0.5)(Gaussian)']);

运行结果如下：



注意，本程序需要已运行完StOMP测试程序，保存了数据文件StOMPMtoPercentage1000.mat。从图中可以看出StOMP要略好于SWOMP，但是StOMP的门限设置由残差决定，这对测量矩阵提出了要求，而SWOMP的门限设置则对测量矩阵要求较低。

【参考文献】

[1] ThomasBlumensath，Mike E. Davies．Stagewiseweak gradient pursuits[J]．IEEE Transactions onSignal Processing，2009，57(11)：4333-4346．

[2]杨真真，杨震，孙林慧.信号压缩重构的正交匹配追踪类算法综述[J]. 信号处理，2013，29(4)：486-496.