[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.4.10

若 $\forall\ i,j$ 有 $(a_i-a_j)(b_i-b_j)\geq 0$, 则 $a_i,b_i$ 称为似序的. 若恒有相反的不等式, 则称之为反序的. 试证: $a_i,b_i$ 似序时 $$\bex \sum_{i=1}^n a_i\cdot \sum_{i=1}^n b_i\leq n \sum_{i=1}^n a_ib_i, \eex$$ $a_i,b_i$ 反序时不等式反号. 等号当且仅当 $a_1=\cdots=a_n$ 或 $b_1=\cdots =b_n$ 时成立. (Chebyshev)

解答: $a_i,b_i$ 似序时, $$\bex 0\leq \sum_{i,j=1}^n (a_i-a_j)(b_i-b_j) =2\sex{n \sum_{i=1}^n a_ib_i-\sum_{i=1}^n a_i\cdot \sum_{i=1}^n b_i}. \eex$$ 往证等式成立的必要条件. 若等号成立, 则不妨设 $a_1\leq \cdots \leq a_n$ (若 $a_i>a_j$, 则可调换两对 $a_i,a_j$; $b_i,b_j$ 的位置). 而由似序, $b_1\leq \cdots\leq b_n$. 据上述证明, $$\beex \bea \mbox{等号成立}&\lra \sex{\forall\ i\neq j,\ a_i=a_j\mbox{ 或 }b_i=b_j}\\ &\ra a_1=a_n\mbox{ 或 }b_1=b_n\\ &\ra a_1=\cdots=a_n\mbox{ 或 }b_1=\cdots=b_n. \eea \eeex$$