[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.4.1

证明: $\dps{0.83<\int_0^1\frac{\rd x}{\sqrt{1+x^4}}<0.95}$.

证明: 由 Taylor 公式, $$\beex \bea (1+t)^{-\frac{1}{2}}&=1-\frac{t}{2}+\frac{3}{8}(1+\xi)^{-\frac{3}{2}}t^2\geq 1-\frac{t}{2}\\ &1-\frac{t}{2}+\frac{3}{8}t^2-\frac{5}{16}(1+\eta)^{-\frac{5}{2}}t^3\leq 1-\frac{t}{2} +\frac{3}{8}t^2. \eea \eeex$$ 故 $$\beex \bea \int_0^1\frac{\rd x}{\sqrt{1+x^4}}&\geq \int_0^1 \sex{1-\frac{x^4}{2}}\rd x=0.9,\\ \int_0^1 \frac{\rd x}{\sqrt{1+x^4}}&\leq \int_0^1 \sex{1-\frac{x^4}{2}+\frac{3}{8}x^8}\rd x =0.9+\frac{1}{24}<0.95. \eea \eeex$$