【算法学习笔记】42.正反DP 填充问题 SJTU OJ 1285 时晴时雨

1285.时晴时雨

Description

Taring喜欢晴天，也喜欢雨天。

Taring说：我想体验连续的K天的晴朗，去远足，去放歌；我还想再这K个晴天之后，再去体验连续的K天的云雨，去感受落雨时的轻语。这是令Taring最开心的事情了。其它的时间，Taring会在机房默默的编写着代码。

当然，Taring不想在这连续的K个晴天和连续的K个雨天里被机房的事务打扰或者被自然天气的变化中断。也就是说，这K个晴天和K个雨天必须是连续的，但是他们之间并不需要时间连续。显然的，Taring如果在感受了连续的K天晴朗后，前去机房写代码，等待下雨的时候再次开始他的感悟，这样是不会影响Taring的心情的。

Taring通过天气预报得到了最近连续N天中若干天的天气情况（天气情况只有“晴”和“雨”两种），但其他的天数的天气情况均是未知的。

他想知道有多少种可能的不同的天气情况（对于两种天气情况，如果有任意一天的天气情况是不一样的，就算做不同的天气情况），使他能够完成这两项体验。

InputFormat

输入共有两行。

第1行有2个整数，分别表示上文中所述的N和K。

第2行是一个长度为N的字符串，仅包含有B（清），W（雨），X（未知）三种字符。

OutputFormat

输出一个整数Ans，表示合法的天气方案数量。

由于Ans可能很大，请将答案Mod1,000,000,007(109+7)

SampleInput1

42
XXXX

SampleOutput1

1

SampleInput2

102
XXBXXWXXXX

SampleOutput2

166

原题:http://codeforces.com/contest/204/problem/D

官方题解:http://codeforces.com/blog/entry/4849

根据官方题解分析大致思路如下:

//b[i]顺序DP表示到i位置为止没有出现k个连续的B的填充方法数

//c[i]顺序DP表示到i位置位置恰好第一次出现连续k个B的填充方法数

//w_1[i]逆序DP表示从n开始到i位置没有出现k个连续的W的填充方法数

//w_2[i]逆序DP表示从n开始到i位置出现了k个连续的W填充方法数

//total[i]逆序DP表示从n位置开始到i位置结束时一共有多少种填充方法

第1步求b[]

　　首先初始化b[0]=1;还有S[0]='0';//这一步是为了以后的判断比较方便

　　1.1判断当前处理位置的类型

　　1.1.1如果遇到不确定位X,则让b[i]=2*b[i-1]因为此处可以有两种填充方法,当然可能会产生一些错误的填充下面进行处理

　　1.1.2如果遇到的是确定位则让b[i]=1*b[i-1]因为只有一种填充方法,当然也会产生一些错误的填充

　　1.2记录当前位置连续的B的个数continous_b[i]

　　1.3如果continous_b[i]>=k和S[i-k]不是'B'

//来计算错误的填充数目bad

//由于是DP过程,我们假设b[0]~b[i-1]的计算都是正确的,则错误的填充指的是从i-k开始到i位置恰好是连续k个B的情况

//根据样例则是xxxxxWBB的情况,前面的xxxxx的填充数就是b[i-k-1]后面的WBB是固定的部分*1
　　　　所以bad=1*b[i-k-1]

　　　　(注意特殊情况如果i=k也就是恰好前k个字符可以实现k个B的情况,则让bad为1即可)

　　最后让b[i]=b[i]-bad;

第2步求c[]

　　2.1c[0]=0

　　2.2c[i]其实就是第1步里的bad不同之处就是如果不满足那个情况则要另c[i]=0

　　//如果把c[]的计算和b[]的融合在一起则不需要continous_b数组只需要一个数即可

第3步求w_1[]

　　和第1步一样的思想,不同的方向而已

第4步求total[]

　　逆序遇到X则累成2

第5步求w_2[]

　　把total和w_1相减即可//补集的思想

第6部求最终结果ans

　　这里要注意:我们已经得到了c[]和w[],c[]表示在i位置处第一次出现连续k个B的填充方法数目,w[]表示后j个中出现连续k个W的方法数目,可见这要遍历i从1到n

　　ans+=c[i]*w[i+1]即可,原因在于c[]已经完成了去重的工作!

PS:mod时,有一个细节要注意就是减法的取模要先加一个mod再取模,原因:余数之间的减法操作可能会导致负数的存在!

代码如下:

#include<iostream>
usingnamespacestd;

constintMaxN=(int)1e6+5;
constintMod=(int)1e9+7;
typedefunsignedlonglongULL;
charS[MaxN];
ULLb[MaxN],c[MaxN],w[MaxN],continous_b[MaxN],total[MaxN];
//continous_b记录的是到i位置时恰好出现了连续的k个B的情况数目不用也行

intmain(intargc,charconst*argv[])
{
intn,k;cin>>n>>k;
S[0]='0';//为了在计算b的时候临界情况的判断
cin>>(S+1);//为了下标对齐,从1开始输入

//求b[]b[i]表示的是从1开始到i位置没有出现过连续的k个B的情况的个数
b[0]=1;

for(inti=1;i<=n;++i)
{

//如果是X由于可以填2种所以乘2注意:此时的b[i]是有badfilling的
//这个badfilling就是指,前i个位置有连续k个B
//假设之前的b全是正确的那么这个badfilling只有一种情况那就是刚好填了B且满足前k个都是B
b[i]=(S[i]=='X')?2*b[i-1]%Mod:1*b[i-1];
continous_b[0]=0;
//为了找出是否此时出现了badfilling我们要记录到i为止前面出现的连续的B的个数
switch(S[i]){
case'X':
case'B'://可继
continous_b[i]=continous_b[i-1]+1;
break;
case'W'://断了
continous_b[i]=0;
continue;//可以下一次循环了因为肯定不是badfilling
}
//判断是否出现了badfilling
if(continous_b[i]>=kandS[i-k]!='B'){//正好出现了连续的k个B
//此处右边的1*b[i-k-1]中的1表示的是WBB的情况:只有一种,b[i-k-1]表示的是前i-k-1中没有连续k个B的情况
//#####重点:两者相乘就是所谓的badfillings
intbad;
if(i>k){
bad=1*b[i-(k+1)];
}elseif(i==k){
bad=1*1;//特殊临界情况
}

c[i]=i-k-1>=0?b[i-k-1]:1;

b[i]=(b[i]-bad+Mod)%Mod;
}else
c[i]=0;
}//此时已经计算了b[]和continous_b[]

//求c[]ci表示的是到第i个位置恰好出现了连续的k个B的情况数(目的是为了去重)也可以放在上一个循环里面做
//c[0]=0;
//for(inti=1;i<=n;++i)
//{
//if(continous_b[i]>=kandS[i-k]!='B')
//c[i]=i-k-1>=0?b[i-k-1]:1;
//else
//c[i]=0;
//}

//现在求w[i],w[i]表示的是从最后一个位置开始到i截止有k个连续的W的情况数和第一步类似最后加上一部补就好了

//现在的w[i]还不是真正的结果
w[n+2]=1;//为了方便
w[n+1]=1;
S[n+1]='0';
intcontinous_w=0;
for(inti=n;i>=0;--i)
{
w[i]=(S[i]=='X')?2*w[i+1]%Mod:w[i+1];
switch(S[i]){
case'X':
case'W':
continous_w++;
break;
case'B':
continous_w=0;
continue;//不用判断是否有badfullings了
}

if(continous_w>=kandS[i+k]!='W')
w[i]=(w[i]-w[i+k+1]+Mod)%Mod;
}

//记录全部情况的数量
total[n+1]=1;
for(inti=n;i>=0;--i){
total[i]=(S[i]=='X')?2*total[i+1]%Mod:total[i+1];
}

//变换为补集
for(inti=1;i<=n;++i)
w[i]=(total[i]-w[i]+Mod)%Mod;

ULLans=0;
for(inti=1;i<=n-1;++i){
ans=(ans+c[i]*w[i+1])%Mod;
}
cout<<ans<<endl;

//for(inti=1;i<=n;++i)
//{
//cout<<b[i]<<"";
//}cout<<endl;

//for(inti=1;i<=n;++i)
//{
//cout<<c[i]<<"";
//}cout<<endl;
//for(inti=1;i<=n;++i)
//{
//cout<<w[i]<<"";
//}cout<<endl;
return0;
}
/*
102
XXBXXWXXXX32
*/