《剑指Offer》学习笔记--面试题10：二进制中1的个数

题目：请实现一个函数，输入一个整数，输出该数二进制表示中1的个数。例如把9表示成二进制是1001，有2位是1.因此如果输入9，该函数输出2。

可能引起死循环的解法

这是一道很基本的考察二进制和位运算的面试题。题目不是很难，面试官提出问题后，我们很快就能形成一个基本的思路：先判断整数二进制表示中最右边一位是不是1。接着把输入的整数右移一位，此时原来处于从右边数起的第二位被移到最右边了，再判断是不是1.这样每次移动一位，知道整个整数变成0为止。现在的问题变成怎么判断一个整数的最右边是不是1了。这很简单，只要把整数和1做位与运算看结果是不是0就知道了。1除了最右边的一位之外所有位都为0.如果一个整数与1做与运算的结果是1，表示该整数最右边一位是1，否则是0。基于这个思路，我们很快就能写出如下代码：

int Numberof1(int n)
{
int count = 0;
while(n){
if(n & 0x01)
count++;
n = n >> 1;
}
return count;
}

面试官看了代码之后可能会问：把整数右移一位和把整数除以2在数学上是等价的，那上面的代码中可以把右移运算换成除以2嘛？答案是否定的。因为除法的效率比移位运算要低得多，在实际编程中应尽可能地用移位运算符代替乘除法。

面试官接下来可能要问的第二个问题就是：上面的函数如果输入一个复数，比如0x80000000，运行的时候会发生什么情况？把负数0x80000000右移一位的时候，并不是简单地把最高位的1移到第二位变成0x40000000，而是0xC0000000。因为移位前是个负数，仍然要保证移位后是个负数，因此移位后最高位会设为1。如果一直做右移运算，最终这个数字就会变成0xFFFFFFFF而陷入死循环。

常规解法

为了避免死循环，我们可以不右移输入的数字n。首先把n和1做与运算，判断最低位是不是1。接着把1左移一位得到2，再和n做与运算，就能判断n的次低位是不是1........这样反复左移，每次都能判断n的其中一位是不是1。基于这种思路，我们可以把代码修改如下：

int Numberof1(int n)
{
int count = 0;
unsigned int flag = 1;
while(flag){
if(n & flag)
count++;
flag = flag << 1;
}
return count;
}

这个算法中循环的次数等于整数二进制的位数，32位的整数需要循环32次。下面再介绍一种算法，整数中有几个1就只需要循环几次。

能给面试官带来惊喜的解法

在分析这种算法之前，我们先来分析把一个数减去1的情况。如果一个整数不等于0，那么该整数的二进制表示中至少有一位是1。先假设这个数的最右边一位是1，那么减去1时，最后一位变成0而其他所有位都保持不变。也就是最后一位相当于做了取反操作，由1变成了0。

接下来假设最后一位不是1而是0的情况。如果该整数的二进制表示中最右边1位位于第m位，那么减去1时，第m位由1变成0，而第m位之后的所有0都变成1，整数中的第m位之前的所有位都保持不变。举个例子：一个二进制数1100，它的第二位是从最右边数起的一个1。减去1后，第二位变成0，它后面的两位0变成1，而前面的1保持不变，因此得到的结果是1011.

在前面两种情况中，我们发现把一个整数减去1，都是把最右边的1变成0。如果它的右边还有0的话，所有的0都变成1，而它左边所有位都保持不变。接下来我们把一个整数和它减去1的结果做位与运算，相当于把它最右边的1变成0。还是以前面的1100为例，它减去1的结果是1011。我们再把1100和1011做位与运算，得到的结果是1000。得到的结果是1000。我们把1100最右边的1变成了0，结果刚好就是1000。

我们把上面的分析总结起来就是：把一个整数减去1，再和原整数做与运算，会把该整数最右边一个1变成0。那么一个整数的二进制表示中有多少个1，就可以进行多少次这样的操作。基于这个思路，我们可以写出新的代码：

int Numberof1(int n)
{
int count = 0;
while(n){
count++;
n = (n - 1)&n;
}
return count;
}

相关题目：

（1）用一条语句判断一个整数是不是2的整数次方。一个整数如果是2的整数次方，那么它的二进制表示中有且只有1位是1，而其他所有位都是0。根据前面的分析，把这个整数减去1之后再和它自己做与运算，这个整数中唯一的1就会变成0。

（2）输入两个整数m和n，计算需要改变m的二进制表示中的多少位才能得到n。比如10的二进制表示为1010,13的二进制表示为1101，需要改变1010中的3位才能得到1101。我们可以分为两步解决这个问题：第一步求这两个数的异或，第二步统计异或结果中1的位数。

举一反三：

把一个整数减去1之后再和原来的整数做位与运算，得到的结果相当于是把整数的二进制表示中的左右边一个1变成0。很多二进制的问题都可以用这个思路解决。