背包问题基本解法 —— 《背包九讲》笔记

　　相对于转载文章，我更喜欢写上一篇笔记，开篇给出原文链接。这样，能有些自己的东西，总结一番，对知识的理解能加深一层；别人看来，也更有价值。

　　今天做USACO题目时，一道题不会，网上查到解法是01背包，于是重新看了《背包九讲》。相比第一次看，理解深的多，可见我还是在进步的，只要我没停下脚步。如果大家想看原文，那么只需要百度“背包九讲”就好了，百度文库中的“背包九讲 2.0”是正版，作者是崔添翼前辈，网上好像称他为dd大牛。这篇文章可以说是“背包问题”的权威了，如果我了解无误的话，背包问题的整套解法就是这篇文章总结出来的。在此，感谢崔添翼前辈的无私奉献！

　　本篇笔记，暂时只对01背包、完全背包问题基本解法做出记录，今后如果用到更多，或许会回来更新。

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　　背包问题模型：容量为V的背包，有N件物品，编号为i的物品，所占容量为Ci，所创造价值为Wi。

　　01背包问题：每件物品只有一件，可以选择放或不放（即取0件或1件，故名01）。

　　完全背包问题：每件物品有无穷件，只要装得下放多少都行（物品所取件数，所有值都可能取到，故名完全）。

　　背包问题设问：

　　　　1、最多能创造多少价值？

　　　　2、背包放满时，最多（最少）能创造多少价值？

　　　　3、背包放慢时，总共有多少种方案？

　　　　……

　　这就是最基础的背包问题了，下面一一讲解。

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我们首先以01背包+问题1为例。

　　对于背包问题，我们的基本思路是这样的：我们一件一件去放物品，从第1件开始直到第N件。设d[i][v]为放完第i件物品时，所占容量为v的情况下最大价值是多少。

　　由于我们的问题1并不要求放满背包，那么显然有边界条件d[0][0~N]=0，这表示我们一件物品不放的时候，可以认为已经占了任意容量，创造的最大价值为0。

　　而后，我们开始一件一件放物品，c++代码如下：

for(int i=1;i<=N;++i)
for(int v=Ci;v<=V;++v) d[v][i]=max(d[v][i-1],d[v-Ci][i-1]+Wi);

　　应该很容易理解，d[v][i]只可以由两种情况更新，一种是d[v][i-1]，这表示第i件物品不放入背包（或者说放入0件）；一种是d[v-Ci][i-1]+Wi，这表示第i件物品放入背包。我们用这两种情况的最大值去更新d[v][i]，那么便考虑了所有情况，从而得到了d[v][i]得到了满足定义的值。

　　这便是动态规划的思路了，很容易理解，也很好写。那么我们来分析一下它的复杂度：时间复杂度O(NV)，空间复杂度O(NV)。

　　下面我们来考虑优化。这种算法是考虑了所有情况，从而保证了正确性，因此时间复杂度上基本是无法优化的；而空间上，可以看到我们是层层递推上去的，求第i件物品的d[0~V][i]时，我们只需要用到d[0~V][i-1]而已，因此我们至少可以把空间缩减到两层，也就是O(2V)。而实际上，本题是可以让空间为一层的，即O(V)。

　　这时，我们的初始化代码是：

for(int v=0;v<=V;++v) d[v]=0;

　　而递推代码则如下：

for(int i=1;i<=N;++i)
for(int v=V;v>=Ci;--v) d[v]=max(d[v],d[v-Ci]+Wi);

　　其实并不难理解，我们把内层循环的顺序颠倒了。这样一来，很容易发现，我们内层循环至v时，d[v+1~V]实际上都是d[v+1~V][i]，而d[0~v]则是d[0~v][i-1]。因此，党我们执行d[v]=max(d[v],d[v-Ci]+Wi)时，它实际上就相当于d[v][i]=max(d[v][i-1],d[v-Ci][i-1]+Wi)，因为执行完这句，d[v]就相当于是d[v][i]了。

　　如果上面的话你理解了，那么你也就明白了01背包问题的解法，时间O(NV)空间O(V)的解法。

那么我们讨论下01背包+问题2：

　　问题2很容易，我们要把背包放满，那么只需要修改一下初始化代码：

d[0]=0;
for(int v=1;v<=V;++v) d[v]=-∞;

　　很好理解，一件物品不放时，只有d[0]有意义，其余容量都不可达到。因此，我们设为-∞，保证后面不会被max选到。而后面，只需要使用同样的递推代码，意义完全不变。这算法正确性太显然，我就不说明了。

接下来，我们来讨论完全背包问题：

　　完全背包中，每件物品可以放无穷件。如果我们考虑空间为O(NV)的算法，那么会相对复杂一点，这里不予讨论；而实际上，我们也只需要O(V)的空间，代码如下：

for(int i=1;i<=N;++i)
for(int v=Ci;v<=V;++v) d[v]=max(d[v],d[v-Ci]+Wi);

　　很简单，只需要把内层循环恢复正序即可。我这里不加解释，相信大家简单想想便可以理解。

　　而对于问题1和问题2，和01背包一样，相对应修改初始化部分即可，代码完全一样。

那么，问题3呢？

　　这个问题很容易，我也不打算给出代码。有兴趣的读者可以自己想想，我在USACO上所做那道题便是这种类型，想不出来的同学可以参考一下，这是博文链接。

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　　至此，本篇对背包问题的基础内容讲解完毕。如果大家仍有兴趣了解，不妨去看看《背包九讲》原文。