二分图

设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。

二分图判定：

BFS就可以，一边搜一边给点上色，遇到相邻的点。如果没上色，则给它上不同的颜色，并且加入队列。如果有颜色了，判断跟现在的点颜色是否一样，一样则说明不是二分图。

例题：http://blog.csdn.net/youthinkwu/article/details/43898767

二分图的最大匹配：匈牙利算法

先来说说几个概念：

匹配:G为二分图的边集的子集，且任意两条边都没有相同的顶点，称该子边集为一个匹配。

最大匹配：边数最多的匹配称为最大匹配。

完美匹配： 如果所有点都在匹配边上，称这个最大匹配是完美匹配。

最小覆盖： 假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边，你需要选择最少的点来覆盖所有的边。可以证明：最少的点（即覆盖数）＝最大匹配数（我并不会证明）。

最大独立集问题：

在Ｎ个点的图G中选出m个点，使这m个点两两之间没有边．求m最大值．

如果图Ｇ满足二分图条件，则可以用二分图匹配来做．最大独立集点数 = 总点数 - 最小覆盖集 = N - 最大匹配数

最小路径覆盖：

用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图Ｇ的所有结点。解决此类问题可以建立一个二分图模型。把所有顶点i拆成两个：Ｘ结点集中的i和Y结点集中的i’,如果有边i->j，则在二分图中引入边i->j’，设二分图最大匹配为m,则结果就是n-m。

交错轨（路）：是图的一条简单路径，满足任意相邻的两条边，一条在匹配内，一条不在匹配内。

增广轨（路）：是一个始点与终点都为未匹配点的交错轨。

二分图最大匹配问题的匈牙利算法： 枚举左边点，不断寻找增广（轨）路，有增广（轨）路就说明还能增加一条边，一直寻找到再也找不到增广（轨）路为止，求出的就是最大匹配。

时间复杂度：左边点N，右边点M，边数E；

邻接表 O(NE)

邻接矩阵 O(MN^2)

最大匹配：（邻接矩阵写法）

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
const int maxn = 300;
int g[maxn][maxn],match[maxn],n,m//g邻接矩阵，match[i] = j 表示右边的点i跟左边的点j匹配，n是左边点的个数，m是右边点的个数;
bool vis[maxn];
using namespace std;
bool DFS(int u)//寻找增广（轨）路
{
for(int i = 1; i <= m; i++)
{
if(g[u][i] && !vis[i])
{
vis[i] = 1;
if(match[i] == -1 || DFS(match[i]))
{
match[i] = u;
return true;
}
}
}
return false;
}
int main()
{
while(~scanf("%d%d",&n,&m))
{
memset(g,0,sizeof(g));
memset(match,-1,sizeof(match));
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
int u;
scanf("%d",&u);
g[u][i] = 1;//单向边就可以。
}
}
int ans = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)//求最大匹配。
{
memset(vis,0,sizeof(vis));
if(DFS(i)) ans ++;
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}

上面那种是能明确分出左右两边点的，有些题目是很难划分两边点的，直接对一个集合求最大匹配，那么匹配出来的ans是答案的两倍，需要除以2.

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
const int maxn = 300;
int g[maxn][maxn],match[maxn],n //g邻接矩阵，match[i] = j 表示点i跟点j匹配，n是点的总个数;
bool vis[maxn];
using namespace std;
bool DFS(int u)//寻找增广（轨）路
{
for(int i = 1; i <= n; i++)//这里是n不是m了。
{
if(g[u][i] && !vis[i])
{
vis[i] = 1;
if(match[i] == -1 || DFS(match[i]))
{
match[i] = u;
return true;
}
}
}
return false;
}
int main()
{
while(~scanf("%d%d",&n,&m))
{
memset(g,0,sizeof(g));
memset(match,-1,sizeof(match));
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
int u;
scanf("%d",&u);
g[u][i] = 1;
g[i][u]/这里需要双向边。
}
}
int ans = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)//求最大匹配。
{
memset(vis,0,sizeof(vis));
if(DFS(i)) ans ++;
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}