游戏开发算法（二）

四、递归

递归是设计和描述算法的一种有力的工具，由于它在复杂算法的描述中被经常采用，为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。

能采用递归描述的算法通常有这样的特征：为求解规模为N的问题，设法将它分解成规模较小的问题，然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解，并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法，分解成规模更小的问题，并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地，当规模N=1时，能直接得解。

【问题】 编写计算斐波那契（Fibonacci）数列的第n项函数fib（n）。

斐波那契数列为：0、1、1、2、3、……，即：

1	fib(0)=0;
2
3	fib(1)=1;
4
5	fib(n)=fib(n-1)+ 4000 ;fib(n-2) （当n>1时）。

写成递归函数有：

1	int fib(int n)
2
3	{ if (n==0) return 0;
4
5	if (n==1) return 1;
6
7	if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2);
8
9	}

递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段，把较复杂的问题（规模为n）的求解推到比原问题简单一些的问题（规模小于n）的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说，为计算fib(n)，必须先计算fib(n-1)和fib(n-2)，而计算fib(n-1)和fib(n-2)，又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推，直至计算fib(1)和fib(0)，分别能立即得到结果1和0。在递推阶段，必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中，当n为1和0的情况。

在回归阶段，当获得最简单情况的解后，逐级返回，依次得到稍复杂问题的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的结果，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后，返回得到fib(n)的结果。

在编写递归函数时要注意，函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层，当递推进入“简单问题”层时，原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层，它们各有自己的参数和局部变量。

由于递归引起一系列的函数调用，并且可能会有一系列的重复计算，递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时，通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法，即从斐波那契数列的前两项出发，逐次由前两项计算出下一项，直至计算出要求的第n项。

【问题】 组合问题

问题描述：找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5，r=3的所有组合为： （1）5、4、3 （2）5、4、2 （3）5、4、1

（4）5、3、2 （5）5、3、1 （6）5、2、1

（7）4、3、2 （8）4、3、1 （9）4、2、1

（10）3、2、1

分析所列的10个组合，可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时，其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[
]存放求出的组合的数字，约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中，当一个组合求出后，才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k，函数将确定组合的第一个数字放入数组后，有两种可能的选择，因还未去顶组合的其余元素，继续递归去确定；或因已确定了组合的全部元素，输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。

【程序】

01	# include
02
03	# define MAXN 100
04
05	int a[MAXN;
06
07	void comb(int m,int k)
08
09	{ int i,j;
10
11	for (i=m;i>=k;i--)
12
13	{ a[k=i;
14
15	if (k>1)
16
17	comb(i-1,k-1);
18
19	else
20
21	{ for (j=a[0;j>0;j--)
22
23	printf(“%4d”,a[j);
24
25	printf(“\n”);
26
27	}
28
29	}
30
31	}
32
33	void main()
34
35	{ a[0=3;
36
37	comb(5,3);
38
39	}

【问题】 背包问题

问题描述：有不同价值、不同重量的物品n件，求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案，使选中物品的总重量不超过指定的限制重量，但选中物品的价值之和最大。

设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1，物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案，并保留了其中总价值最大的方案于数组option[
]，该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案，其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品，现在要考虑第i件物品；当前方案已包含的物品的重量之和为tw；至此，若其余物品都选择是可能的话，本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时，继续考察当前方案变成无意义的工作，应终止当前方案，立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时，该方案不会被再考察，这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。

对于第i件物品的选择考虑有两种可能：

（1） 考虑物品i被选择，这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后，继续递归去考虑其余物品的选择。

（2） 考虑物品i不被选择，这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。

按以上思想写出递归算法如下：

01	try(物品i，当前选择已达到的重量和，本方案可能达到的总价值tv)
02
03	{ /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/
04
05	if(包含物品i是可以接受的)
06
07	{ 将物品i包含在当前方案中；
08
09	if (i　　 try(i+1,tw+物品i的重量,tv);
10
11	else
12
13	/*又一个完整方案，因为它比前面的方案好，以它作为最佳方案*/
14
15	以当前方案作为临时最佳方案保存;
16
17	恢复物品i不包含状态；
18
19	}
20
21	/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/
22
23	if (不包含物品i仅是可男考虑的)
24
25	if (i　　 try(i+1,tw,tv-物品i的价值)；
26
27	else
28
29	/*又一个完整方案，因它比前面的方案好，以它作为最佳方案*/
30
31	以当前方案作为临时最佳方案保存;
32
33	}

为了理解上述算法，特举以下实例。设有4件物品，它们的重量和价值见表：

物品 0 1 2 3

重量 5 3 2 1

价值 4 4 3 1

并设限制重量为7。则按以上算法，下图表示找解过程。由图知，一旦找到一个解，算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解，算法不会在该分支继续查找，而是立即终止该分支，并去考察下一个分支。

按上述算法编写函数和程序如下：

【程序】

01	# include
02
03	# define N 100
04
05	double limitW,totV,maxV;
06
07	int option[N,cop[N;
08
09	struct { double weight;
10
11	double value;
12
13	}a[N;
14
15	int n;
16
17	void find(int i,double tw,double tv)
18
19	{ int k;
20
21	/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/
22
23	if (tw+a[i.weight<=limitW)
24
25	{ cop[i=1;
26
27	if (i　　 else
28
29	{ for (k=0;k　　 option[k=cop[k;
30
31	maxv=tv;
32
33	}
34
35	cop[i=0;
36
37	}
38
39	/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/
40
41	if (tv-a[i.value>maxV)
42
43	if (i　　 else
44
45	{ for (k=0;k　　 option[k=cop[k;
46
47	maxv=tv-a[i.value;
48
49	}
50
51	}
52
53	void main()
54
55	{ int k;
56
57	double w,v;
58
59	printf(“输入物品种数\n”);
60
61	scanf((“%d”,&n);
62
63	printf(“输入各物品的重量和价值\n”);
64
65	for (totv=0.0,k=0;k　　 { scanf(“%1f%1f”,&w,&v);
66
67	a[k.weight=w;
68
69	a[k.value=v;
70
71	totV+=V;
72
73	}
74
75	printf(“输入限制重量\n”);
76
77	scanf(“%1f”,&limitV);
78
79	maxv=0.0;
80
81	for (k=0;k　　 find(0,0.0,totV);
82
83	for (k=0;k　　 if (option[k) printf(“%4d”,k+1);
84
85	printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv);
86
87	}
88

作为对比，下面以同样的解题思想，考虑非递归的程序解。为了提高找解速度，程序不是简单地逐一生成所有候选解，而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解，一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况：当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制，该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的；反之，该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地，仅当物品不被包括在候选解中，还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时，才去考虑该物品不被包括在候选解中；反之，该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案，程序就去进一步考虑下一个物品。

【程序】

001	# include
002
003	# define N 100
004
005	double limitW;
006
007	int cop[N;
008
009	struct ele { double weight;
010
011	double value;
012
013	} a[N;
014
015	int k,n;
016
017	struct { int ;
018
019	double tw;
020
021	double tv;
022
023	}twv[N;
024
025	void next(int i,double tw,double tv)
026
027	{ twv[i.=1;
028
029	twv[i.tw=tw;
030
031	twv[i.tv=tv;
032
033	}
034
035	double find(struct ele *a,int n)
036
037	{ int i,k,f;
038
039	double maxv,tw,tv,totv;
040
041	maxv=0;
042
043	for (totv=0.0,k=0;k　　 totv+=a[k.value;
044
045	next(0,0.0,totv);
046
047	i=0;
048
049	While (i>=0)
050
051	{ f=twv[i.;
052
053	tw=twv[i.tw;
054
055	tv=twv[i.tv;
056
057	switch(f)
058
059	{ case 1: twv[i.++;
060
061	if (tw+a[i.weight<=limitW)
062
063	if (i　　 { next(i+1,tw+a[i.weight,tv);
064
065	i++;
066
067	}
068
069	else
070
071	{ maxv=tv;
072
073	for (k=0;k　　 cop[k=twv[k.!=0;
074
075	}
076
077	break;
078
079	case 0: i--;
080
081	break;
082
083	default: twv[i.=0;
084
085	if (tv-a[i.value>maxv)
086
087	if (i　　 { next(i+1,tw,tv-a[i.value);
088
089	i++;
090
091	}
092
093	else
094
095	{ maxv=tv-a[i.value;
096
097	for (k=0;k　　 cop[k=twv[k.!=0;
098
099	}
100
101	break;
102
103	}
104
105	}
106
107	return maxv;
108
109	}
110
111	void main()
112
113	{ double maxv;
114
115	printf(“输入物品种数\n”);
116
117	scanf((“%d”,&n);
118
119	printf(“输入限制重量\n”);
120
121	scanf(“%1f”,&limitW);
122
123	printf(“输入各物品的重量和价值\n”);
124
125	for (k=0;k　　 scanf(“%1f%1f”,&a[k.weight,&a[k.value);
126
127	maxv=find(a,n);
128
129	printf(“\n选中的物品为\n”);
130
131	for (k=0;k　　 if (option[k) printf(“%4d”,k+1);
132
133	printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv);
134
135	}
136

五、回溯法

回溯法也称为试探法，该方法首先暂时放弃关于问题规模大小的限制，并将问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验。当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解；倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外，满足所有其他要求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。如果当前候选解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一个解。在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回溯。扩大当前候选解的规模，以继续试探的过程称为向前试探。

1、回溯法的一般描述

可用回溯法求解的问题P，通常要能表达为：对于已知的由n元组（x1，x2，…，xn）组成的一个状态空间E={（x1，x2，…，xn）∣xi∈Si ，i=1，2，…，n}，给定关于n元组中的一个分量的一个约束集D，要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。其中Si是分量xi的定义域，且
|Si| 有限，i=1，2，…，n。我们称E中满足D的全部约束条件的任一n元组为问题P的一个解。

解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全部约束，若满足，则为问题P的一个解。但显然，其计算量是相当大的。

我们发现，对于许多问题，所给定的约束集D具有完备性，即i元组（x1，x2，…，xi）满足D中仅涉及到x1，x2，…，xi的所有约束意味着j（jj。因此，对于约束集D具有完备性的问题P，一旦检测断定某个j元组（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及x1，x2，…，xj的一个约束，就可以肯定，以（x1，x2，…，xj）为前缀的任何n元组（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不会是问题P的解，因而就不必去搜索它们、检测它们。回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算法。

回溯法首先将问题P的n元组的状态空间E表示成一棵高为n的带权有序树T，把在E中求问题P的所有解转化为在T中搜索问题P的所有解。树T类似于检索树，它可以这样构造：

设Si中的元素可排成xi(1) ，xi(2) ，…，xi(mi-1) ，|Si| =mi，i=1，2，…，n。从根开始，让T的第I层的每一个结点都有mi个儿子。这mi个儿子到它们的双亲的边，按从左到右的次序，分别带权xi+1(1)
，xi+1(2) ，…，xi+1(mi) ，i=0，1，2，…，n-1。照这种构造方式，E中的一个n元组（x1，x2，…，xn）对应于T中的一个叶子结点，T的根到这个叶子结点的路径上依次的n条边的权分别为x1，x2，…，xn，反之亦然。另外，对于任意的0≤i≤n-1，E中n元组（x1，x2，…，xn）的一个前缀I元组（x1，x2，…，xi）对应于T中的一个非叶子结点，T的根到这个非叶子结点的路径上依次的I条边的权分别为x1，x2，…，xi，反之亦然。特别，E中的任意一个n元组的空前缀（），对应于T的根。

因而，在E中寻找问题P的一个解等价于在T中搜索一个叶子结点，要求从T的根到该叶子结点的路径上依次的n条边相应带的n个权x1，x2，…，xn满足约束集D的全部约束。在T中搜索所要求的叶子结点，很自然的一种方式是从根出发，按深度优先的策略逐步深入，即依次搜索满足约束条件的前缀1元组（x1i）、前缀2元组（x1，x2）、…，前缀I元组（x1，x2，…，xi），…，直到i=n为止。

在回溯法中，上述引入的树被称为问题P的状态空间树；树T上任意一个结点被称为问题P的状态结点；树T上的任意一个叶子结点被称为问题P的一个解状态结点；树T上满足约束集D的全部约束的任意一个叶子结点被称为问题P的一个回答状态结点，它对应于问题P的一个解。

【问题】 组合问题

问题描述：找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。

例如n=5，r=3的所有组合为：

（1）1、2、3 （2）1、2、4 （3）1、2、5

（4）1、3、4 （5）1、3、5 （6）1、4、5

（7）2、3、4 （8）2、3、5 （9）2、4、5

（10）3、4、5

则该问题的状态空间为：

E={（x1，x2，x3）∣xi∈S ，i=1，2，3 } 其中：S={1，2，3，4，5}

约束集为： x1　　 显然该约束集具有完备性。

问题的状态空间树T：

2、回溯法的方法

对于具有完备约束集D的一般问题P及其相应的状态空间树T，利用T的层次结构和D的完备性，在T中搜索问题P的所有解的回溯法可以形象地描述为：

从T的根出发，按深度优先的策略，系统地搜索以其为根的子树中可能包含着回答结点的所有状态结点，而跳过对肯定不含回答结点的所有子树的搜索，以提高搜索效率。具体地说，当搜索按深度优先策略到达一个满足D中所有有关约束的状态结点时，即“激活”该状态结点，以便继续往深层搜索；否则跳过对以该状态结点为根的子树的搜索，而一边逐层地向该状态结点的祖先结点回溯，一边“杀死”其儿子结点已被搜索遍的祖先结点，直到遇到其儿子结点未被搜索遍的祖先结点，即转向其未被搜索的一个儿子结点继续搜索。

在搜索过程中，只要所激活的状态结点又满足终结条件，那么它就是回答结点，应该把它输出或保存。由于在回溯法求解问题时，一般要求出问题的所有解，因此在得到回答结点后，同时也要进行回溯，以便得到问题的其他解，直至回溯到T的根且根的所有儿子结点均已被搜索过为止。

例如在组合问题中，从T的根出发深度优先遍历该树。当遍历到结点（1，2）时，虽然它满足约束条件，但还不是回答结点，则应继续深度遍历；当遍历到叶子结点（1，2，5）时，由于它已是一个回答结点，则保存（或输出）该结点，并回溯到其双亲结点，继续深度遍历；当遍历到结点（1，5）时，由于它已是叶子结点，但不满足约束条件，故也需回溯。

3、回溯法的一般流程和技术

在用回溯法求解有关问题的过程中，一般是一边建树，一边遍历该树。在回溯法中我们一般采用非递归方法。下面，我们给出回溯法的非递归算法的一般流程：

在用回溯法求解问题，也即在遍历状态空间树的过程中，如果采用非递归方法，则我们一般要用到栈的数据结构。这时，不仅可以用栈来表示正在遍历的树的结点，而且可以很方便地表示建立孩子结点和回溯过程。

例如在组合问题中，我们用一个一维数组Stack[ ]表示栈。开始栈空，则表示了树的根结点。如果元素1进栈，则表示建立并遍历（1）结点；这时如果元素2进栈，则表示建立并遍历（1，2）结点；元素3再进栈，则表示建立并遍历（1，2，3）结点。这时可以判断它满足所有约束条件，是问题的一个解，输出（或保存）。这时只要栈顶元素（3）出栈，即表示从结点（1，2，3）回溯到结点（1，2）。

【问题】 组合问题

问题描述：找出从自然数1，2，…，n中任取r个数的所有组合。

采用回溯法找问题的解，将找到的组合以从小到大顺序存于a[0]，a[1]，…，a[r-1]中，组合的元素满足以下性质：

（1） a[i+1]>a，后一个数字比前一个大；

（2） a-i<=n-r+1。

按回溯法的思想，找解过程可以叙述如下：

首先放弃组合数个数为r的条件，候选组合从只有一个数字1开始。因该候选解满足除问题规模之外的全部条件，扩大其规模，并使其满足上述条件（1），候选组合改为1，2。继续这一过程，得到候选组合1，2，3。该候选解满足包括问题规模在内的全部条件，因而是一个解。在该解的基础上，选下一个候选解，因a[2]上的3调整为4，以及以后调整为5都满足问题的全部要求，得到解1，2，4和1，2，5。由于对5不能再作调整，就要从a[2]回溯到a[1]，这时，a[1]=2，可以调整为3，并向前试探，得到解1，3，4。重复上述向前试探和向后回溯，直至要从a[0]再回溯时，说明已经找完问题的全部解。按上述思想写成程序如下：

【程序】

01	# define MAXN 100
02
03	int a[MAXN;
04
05	void comb(int m,int r)
06
07	{ int i,j;
08
09	i=0;
10
11	a[i=1;
12
13	do {
14
15	if (a[i-i<=m-r+1
16
17	{ if (i==r-1)
18
19	{ for (j=0;j　　 printf(“%4d”,a[j);
20
21	printf(“\n”);
22
23	}
24
25	a[i++;
26
27	continue;
28
29	}
30
31	else
32
33	{ if (i==0)
34
35	return;
36
37	a[--i++;
38
39	}
40
41	} while (1)
42
43	}
44
45	main()
46
47	{ comb(5,3);
48
49	}
50

【问题】 填字游戏

问题描述：在3×3个方格的方阵中要填入数字1到N（N≥10）内的某9个数字，每个方格填一个整数，似的所有相邻两个方格内的两个整数之和为质数。试求出所有满足这个要求的各种数字填法。

可用试探发找到问题的解，即从第一个方格开始，为当前方格寻找一个合理的整数填入，并在当前位置正确填入后，为下一方格寻找可填入的合理整数。如不能为当前方格找到一个合理的可填证书，就要回退到前一方格，调整前一方格的填入数。当第九个方格也填入合理的整数后，就找到了一个解，将该解输出，并调整第九个的填入的整数，寻找下一个解。//Unity3D教程手册：www.unitymanual.com

为找到一个满足要求的9个数的填法，从还未填一个数开始，按某种顺序（如从小到大的顺序）每次在当前位置填入一个整数，然后检查当前填入的整数是否能满足要求。在满足要求的情况下，继续用同样的方法为下一方格填入整数。如果最近填入的整数不能满足要求，就改变填入的整数。如对当前方格试尽所有可能的整数，都不能满足要求，就得回退到前一方格，并调整前一方格填入的整数。如此重复执行扩展、检查或调整、检查，直到找到一个满足问题要求的解，将解输出。

回溯法找一个解的算法：

01	{ int m=0,ok=1;
02
03	int n=8;
04
05	do{
06
07	if (ok) 扩展;
08
09	else 调整;
10
11	ok=检查前m个整数填放的合理性;
12
13	} while ((!ok||m!=n)&&(m!=0))
14
15	if (m!=0) 输出解;
16
17	else 输出无解报告；
18
19	}
20

如果程序要找全部解，则在将找到的解输出后，应继续调整最后位置上填放的整数，试图去找下一个解。相应的算法如下：

回溯法找全部解的算法：

01	{ int m=0,ok=1;
02
03	int n=8;
04
05	do{
06
07	if (ok)
08
09	{ if (m==n)
10
11	{ 输出解；
12
13	调整；
14
15	}
16
17	else 扩展;
18
19	}
20
21	else 调整;
22
23	ok=检查前m个整数填放的合理性;
24
25	} while (m!=0);
26
27	}
28

为了确保程序能够终止，调整时必须保证曾被放弃过的填数序列不会再次实验，即要求按某种有许模型生成填数序列。给解的候选者设定一个被检验的顺序，按这个顺序逐一形成候选者并检验。从小到大或从大到小，都是可以采用的方法。如扩展时，先在新位置填入整数1，调整时，找当前候选解中下一个还未被使用过的整数。将上述扩展、调整、检验都编写成程序，细节见以下找全部解的程序。//Unity3D教程手册：www.unitymanual.com

【程序】

001	# include
002
003	# define N 12
004
005	void write(int a[ )
006
007	{ int i,j;
008
009	for (i=0;i<3;i++)
010
011	{ for (j=0;j<3;j++)
012
013	printf(“%3d”,a[3*i+j);
014
015	printf(“\n”);
016
017	}
018
019	scanf(“%*c”);
020
021	}
022
023	int b[N+1;
024
025	int a[10;
026
027	int isprime(int m)
028
029	{ int i;
030
031	int primes[ ={2,3,5,7,11,17,19,23,29,-1};
032
033	if (m==1||m%2=0) return 0;
034
035	for (i=0;primes[i>0;i++)
036
037	if (m==primes[i) return 1;
038
039	for (i=3;i*i<=m;)
040
041	{ if (m%i==0) return 0;
042
043	i+=2;
044
045	}
046
047	return 1;
048
049	}
050
051	int checkmatrix[ [3={ {-1},{0,-1},{1,-1},{0,-1},{1,3,-1},
052
053	{2,4,-1},{3,-1},{4,6,-1},{5,7,-1}};
054
055	int selectnum(int start)
056
057	{ int j;
058
059	for (j=start;j<=N;j++)
060
061	if (b[j) return j
062
063	return 0;
064
065	}
066
067	int check(int pos)
068
069	{ int i,j;
070
071	if (pos<0) return 0;
072
073	for (i=0;(j=checkmatrix[pos[i)>=0;i++)
074
075	if (!isprime(a[pos+a[j)
076
077	return 0;
078
079	return 1;
080
081	}
082
083	int extend(int pos)
084
085	{ a[++pos=selectnum(1);
086
087	b[a[pos=0;
088
089	return pos;
090
091	}
092
093	int change(int pos)
094
095	{ int j;
096
097	while (pos>=0&&(j=selectnum(a[pos+1))==0)
098
099	b[a[pos--=1;
100
101	if (pos<0) return –1
102
103	b[a[pos=1;
104
105	a[pos=j;
106
107	b[j=0;
108
109	return pos;
110
111	}
112
113	void find()
114
115	{ int ok=0,pos=0;
116
117	a[pos=1;
118
119	b[a[pos=0;
120
121	do {
122
123	if (ok)
124
125	if (pos==8)
126
127	{ write(a);
128
129	pos=change(pos);
130
131	}
132
133	else pos=extend(pos);
134
135	else pos=change(pos);
136
137	ok=check(pos);
138
139	} while (pos>=0)
140
141	}
142
143	void main()
144
145	{ int i;
146
147	for (i=1;i<=N;i++)
148
149	b[i=1;
150
151	find();
152
153	}
154

【问题】 n皇后问题

问题描述：求出在一个n×n的棋盘上，放置n个不能互相捕捉的国际象棋“皇后”的所有布局。

这是来源于国际象棋的一个问题。皇后可以沿着纵横和两条斜线4个方向相互捕捉。如图所示，一个皇后放在棋盘的第4行第3列位置上，则棋盘上凡打“×”的位置上的皇后就能与这个皇后相互捕捉。

1 2 3 4 5 6 7 8

× ×

× × ×

× × ×

× × Q × × × × ×

× × ×

× × ×

× ×

× ×

从图中可以得到以下启示：一个合适的解应是在每列、每行上只有一个皇后，且一条斜线上也只有一个皇后。

求解过程从空配置开始。在第1列至第m列为合理配置的基础上，再配置第m+1列，直至第n列配置也是合理时，就找到了一个解。接着改变第n列配置，希望获得下一个解。另外，在任一列上，可能有n种配置。开始时配置在第1行，以后改变时，顺次选择第2行、第3行、…、直到第n行。当第n行配置也找不到一个合理的配置时，就要回溯，去改变前一列的配置。得到求解皇后问题的算法如下：

{ 输入棋盘大小值n；

01	m=0;
02
03	good=1;
04
05	do {
06
07	if (good)
08
09	if (m==n)
10
11	{ 输出解；
12
13	改变之，形成下一个候选解;
14
15	}
16
17	else 扩展当前候选接至下一列；
18
19	else 改变之，形成下一个候选解；
20
21	good=检查当前候选解的合理性；
22
23	} while (m!=0);
24
25	}
26

在编写程序之前，先确定边式棋盘的数据结构。比较直观的方法是采用一个二维数组，但仔细观察就会发现，这种表示方法给调整候选解及检查其合理性带来困难。更好的方法乃是尽可能直接表示那些常用的信息。对于本题来说，“常用信息”并不是皇后的具体位置，而是“一个皇后是否已经在某行和某条斜线合理地安置好了”。因在某一列上恰好放一个皇后，引入一个一维数组（col[
]），值col表示在棋盘第i列、col行有一个皇后。例如：col[3]=4，就表示在棋盘的第3列、第4行上有一个皇后。另外，为了使程序在找完了全部解后回溯到最初位置，设定col[0]的初值为0当回溯到第0列时，说明程序已求得全部解，结束程序运行。//Unity3D教程手册：www.unitymanual.com

为使程序在检查皇后配置的合理性方面简易方便，引入以下三个工作数组：

（1）
数组a[ ]，a[k]表示第k行上还没有皇后；

（2）
数组b[ ]，b[k]表示第k列右高左低斜线上没有皇后；

（3）
数组 c[ ]，c[k]表示第k列左高右低斜线上没有皇后；

棋盘中同一右高左低斜线上的方格，他们的行号与列号之和相同；同一左高右低斜线上的方格，他们的行号与列号之差均相同。

初始时，所有行和斜线上均没有皇后，从第1列的第1行配置第一个皇后开始，在第m列col[m]行放置了一个合理的皇后后，准备考察第m+1列时，在数组a[
]、b[ ]和c[ ]中为第m列，col[m]行的位置设定有皇后标志；当从第m列回溯到第m-1列，并准备调整第m-1列的皇后配置时，清除在数组a[ ]、b[ ]和c[ ]中设置的关于第m-1列，col[m-1]行有皇后的标志。一个皇后在m列，col[m]行方格内配置是合理的，由数组a[ ]、b[ ]和c[ ]对应位置的值都为1来确定。细节见以下程序：

【程序】

01	# include
02
03	# include
04
05	# define MAXN 20
06
07	int n,m,good;
08
09	int col[MAXN+1,a[MAXN+1,b[2*MAXN+1,c[2*MAXN+1;
10
11	void main()
12
13	{ int j;
14
15	char awn;
16
17	printf(“Enter n: ”); scanf(“%d”,&n);
18
19	for (j=0;j<=n;j++) a[j=1;
20
21	for (j=0;j<=2*n;j++) cb[j=c[j=1;
22
23	m=1; col[1=1; good=1; col[0=0;
24
25	do {
26
27	if (good)
28
29	if (m==n)
30
31	{ printf(“列\t行”);
32
33	for (j=1;j<=n;j++)
34
35	printf(“%3d\t%d\n”,j,col[j);
36
37	printf(“Enter a character (Q/q for exit)!\n”);
38
39	scanf(“%c”,&awn);
40
41	if (awn=='Q'||awn=='q') exit(0);
42
43	while (col[m==n)
44
45	{ m--;
46
47	a[col[m=b[m+col[m=c[n+m-col[m=1;
48
49	}
50
51	col[m++;
52
53	}
54
55	else
56
57	{ a[col[m=b[m+col[m=c[n+m-col[m=0;
58
59	col[++m=1;
60
61	}
62
63	else
64
65	{ while (col[m==n)
66
67	{ m--;
68
69	a[col[m=b[m+col[m=c[n+m-col[m=1;
70
71	}
72
73	col[m++;
74
75	}
76
77	good=a[col[m&&b[m+col[m&&c[n+m-col[m;
78
79	} while (m!=0);
80
81	}

试探法找解算法也常常被编写成递归函数，下面两程序中的函数queen_all()和函数queen_one()能分别用来解皇后问题的全部解和一个解。

【程序】

01	# include
02
03	# include
04
05	# define MAXN 20
06
07	int n;
08
09	int col[MAXN+1,a[MAXN+1,b[2*MAXN+1,c[2*MAXN+1;
10
11	void main()
12
13	{ int j;
14
15	printf(“Enter n: ”); scanf(“%d”,&n);
16
17	for (j=0;j<=n;j++) a[j=1;
18
19	for (j=0;j<=2*n;j++) cb[j=c[j=1;
20
21	queen_all(1,n);
22
23	}
24
25	void queen_all(int k,int n)
26
27	{ int i,j;
28
29	char awn;
30
31	for (i=1;i<=n;i++)
32
33	if (a[i&&b[k+i&&c[n+k-i)
34
35	{ col[k=i;
36
37	a[i=b[k+i=c[n+k-i=0;
38
39	if (k==n)
40
41	{ printf(“列\t行”);
42
43	for (j=1;j<=n;j++)
44
45	printf(“%3d\t%d\n”,j,col[j);
46
47	printf(“Enter a character (Q/q for exit)!\n”);
48
49	scanf(“%c”,&awn);
50
51	if (awn=='Q'||awn=='q') exit(0);
52
53	}
54
55	queen_all(k+1,n);
56
57	a[i=b[k+i=c[n+k-i;
58
59	}
60
61	}
62

采用递归方法找一个解与找全部解稍有不同，在找一个解的算法中，递归算法要对当前候选解最终是否能成为解要有回答。当它成为最终解时，递归函数就不再递归试探，立即返回；若不能成为解，就得继续试探。设函数queen_one()返回1表示找到解，返回0表示当前候选解不能成为解。细节见以下函数。

【程序】

01	# define MAXN 20
02
03	int n;
04
05	int col[MAXN+1,a[MAXN+1,b[2*MAXN+1,c[2*MAXN+1;
06
07	int queen_one(int k,int n)
08
09	{ int i,found;
10
11	i=found=0;
12
13	While (!found&&i　　 { i++;
14
15	if (a[i&&b[k+i&&c[n+k-i)
16
17	{ col[k=i;
18
19	a[i=b[k+i=c[n+k-i=0;
20
21	if (k==n) return 1;
22
23	else
24
25	found=queen_one(k+1,n);
26
27	a[i=b[k+i=c[n+k-i=1;
28
29	}
30
31	}
32
33	return found;
34
35	}声明：此篇文档时来自于【狗刨学习网】社区-unity极致学院，是网友自行发布的Unity3D学习文章，如果有什么内容侵犯了你的相关权益，请与官方沟通，我们会即时处理。