【BZOJ】【1061】【NOI2008】志愿者招募
2015-03-19 10:31
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网络流/费用流
OrzOrzOrz,这题太神了不会捉。题解:https://www.byvoid.com/blog/noi-2008-employee/
这道题正确的解法是构造网络,求网络最小费用最大流,但是模型隐藏得较深,不易想到。构造网络是该题的关键,以下面一个例子说明构图的方法和解释。
例如一共需要4天,四天需要的人数依次是4,2,5,3。有5类志愿者,如下表所示:
种类 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
时间 | 1-2 | 1-1 | 2-3 | 3-3 | 3-4 |
费用 | 3 | 4 | 3 | 5 | 6 |
P[1] = X[1] + X[2] >= 4
P[2] = X[1] + X[3] >= 2
P[3] = X[3] + X[4] +X[5] >= 5
P[4] = X[5] >= 3
对于第i个不等式,添加辅助变量Y[i] (Y[i]>=0) ,可以使其变为等式
P[1] = X[1] + X[2] - Y[1] = 4
P[2] = X[1] + X[3] - Y[2] = 2
P[3] = X[3] + X[4] +X[5] - Y[3] = 5
P[4] = X[5] - Y[4] = 3
在上述四个等式上下添加P[0]=0,P[5]=0,每次用下边的式子减去上边的式子,得出
① P[1] - P[0] = X[1] + X[2] - Y[1] = 4
② P[2] - P[1] = X[3] - X[2] -Y[2] +Y[1] = -2
③ P[3] - P[2] = X[4] + X[5] - X[1] - Y[3] + Y[2] =3
④ P[4] - P[3] = - X[3] - X[4] + Y[3] - Y[4] = -2
⑤ P[5] - P[4] = - X[5] + Y[4] = -3
观察发现,每个变量都在两个式子中出现了,而且一次为正,一次为负。所有等式右边和为0。接下来,根据上面五个等式构图。
每个等式为图中一个顶点,添加源点S和汇点T。
如果一个等式右边为非负整数c,从源点S向该等式对应的顶点连接一条容量为c,权值为0的有向边;如果一个等式右边为负整数c,从该等式对应的顶点向汇点T连接一条容量为c,权值为0的有向边。
如果一个变量X[i]在第j个等式中出现为X[i],在第k个等式中出现为-X[i],从顶点j向顶点k连接一条容量为∞,权值为V[i]的有向边。
如果一个变量Y[i]在第j个等式中出现为Y[i],在第k个等式中出现为-Y[i],从顶点j向顶点k连接一条容量为∞,权值为0的有向边。
构图以后,求从源点S到汇点T的最小费用最大流,费用值就是结果。
根据上面的例子可以构造出如下网络,红色的边为每个变量X代表的边,蓝色的边为每个变量Y代表的边,边的容量和权值标已经标出(蓝色没有标记,因为都是容量∞,权值0)。
/************************************************************** Problem: 1061 User: Tunix Language: C++ Result: Accepted Time:1308 ms Memory:5992 kb ****************************************************************/ //BZOJ 1000 #include<cmath> #include<vector> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<iostream> #include<algorithm> #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i) #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i) #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i) #define pb push_back #define CC(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) using namespace std; int getint(){ int v=0,sign=1; char ch=getchar(); while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') sign=-1; ch=getchar();} while(isdigit(ch)) {v=v*10+ch-'0'; ch=getchar();} return v*sign; } const int N=2010,M=200000,INF=~0u>>2; const double eps=1e-8; /*******************template********************/ int n,m,ans,p ; struct edge{int from,to,v,c;}; struct Net{ edge E[M]; int head ,next[M],cnt; void ins(int x,int y,int z,int c){ E[++cnt]=(edge){x,y,z,c}; next[cnt]=head[x]; head[x]=cnt; } void add(int x,int y,int z,int c){ ins(x,y,z,c); ins(y,x,0,-c); } int d ,from ,Q[M],S,T; bool inq ; bool spfa(){ int l=0,r=-1; F(i,1,T) d[i]=INF; d[S]=0; Q[++r]=S; inq[S]=1; while(l<=r){ int x=Q[l++]; inq[x]=0; for(int i=head[x];i;i=next[i]) if(E[i].v && d[x]+E[i].c<d[E[i].to]){ d[E[i].to]=d[x]+E[i].c; from[E[i].to]=i; if(!inq[E[i].to]){ Q[++r]=E[i].to; inq[E[i].to]=1; } } } return d[T]!=INF; } void mcf(){ int x=INF; for(int i=from[T];i;i=from[E[i].from]) x=min(x,E[i].v); for(int i=from[T];i;i=from[E[i].from]){ E[i].v-=x; E[i^1].v+=x; } ans+=x*d[T]; } void init(){ n=getint(); m=getint(); cnt=1; S=0; T=n+2; int x,y,z; F(i,1,n) p[i]=getint(); F(i,1,n+1){ if (i>1) add(i,i-1,INF,0); if (p[i]>=p[i-1]) add(S,i,p[i]-p[i-1],0); else add(i,T,p[i-1]-p[i],0); } F(i,1,m){ x=getint(); y=getint(); z=getint(); add(x,y+1,INF,z); } while(spfa()) mcf(); printf("%d\n",ans); } }G1; int main(){ #ifndef ONLINE_JUDGE freopen("input.txt","r",stdin); // freopen("output.txt","w",stdout); #endif G1.init(); return 0; }
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1061: [Noi2008]志愿者招募
Time Limit: 20 Sec Memory Limit: 162 MBSubmit: 2387 Solved: 1497
[Submit][Status][Discuss]
Description
申奥成功后,布布经过不懈努力,终于成为奥组委下属公司人力资源部门的主管。布布刚上任就遇到了一个难题:为即将启动的奥运新项目招募一批短期志愿者。经过
估算,这个项目需要N 天才能完成,其中第i 天至少需要Ai 个人。 布布通过了解得知,一共有M 类志愿者可以招募。其中第i 类可以从第Si
天工作到第Ti 天,招募费用是每人Ci
元。新官上任三把火,为了出色地完成自己的工作,布布希望用尽量少的费用招募足够的志愿者,但这并不是他的特长!于是布布找到了你,希望你帮他设计一种最
优的招募方案。
Input
第一行包含两个整数N, M,表示完成项目的天数和可以招募的志愿者的种类。 接下来的一行中包含N 个非负整数,表示每天至少需要的志愿者人数。
接下来的M 行中每行包含三个整数Si, Ti, Ci,含义如上文所述。为了方便起见,我们可以认为每类志愿者的数量都是无限多的。
Output
仅包含一个整数,表示你所设计的最优方案的总费用。Sample Input
3 32 3 4
1 2 2
2 3 5
3 3 2
Sample Output
14HINT
招募第一类志愿者3名,第三类志愿者4名 30%的数据中,1 ≤ N, M ≤ 10,1 ≤ Ai ≤ 10; 100%的数据中,1 ≤ N ≤ 1000,1 ≤ M ≤ 10000,题目中其他所涉及的数据均 不超过2^31-1。Source
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