0-1背包问题(回溯法)

给定n中物品和一个容量为c的背包，物品i的重量为Wi,其价值为Vi,0-1背包问题是如何选择装入背包的物品（物品不可分割），使得装入背包的物品的价值为最大。

1.题目分析：
考虑到每种物品只有2 种选择，即装入背包或不装入背包，并且物品数和背包容量已给定，要计算装入背包物品的最大价值和最优装入方案，可用回溯法搜索子集树的算法进行求解。

2.算法设计：

a. 物品有n种，背包容量为C，分别用p[i]和w[i]存储第i种物品的价值和重量，用

x[i]标记第i种物品是否装入背包，用bestx[i]存储第i种物品的最优装载方案；

b. 用递归函数Backtrack (i,cp,cw)来实现回溯法搜索子集树（形式参数i表示递归深

度，n用来控制递归深度，形式参数cp和cw表示当前总价值和总重量，bestp表示当前

最优总价值）：

① 若i >n，则算法搜索到一个叶结点，判断当前总价值是否最优：

1> 若cp>bestp，更新当前最优总价值为当前总价值（即bestp=cp），更新

装载方案（即bestx[i]=x[i]( 1≤i≤n)）；

② 采用for循环对物品i装与不装两种情况进行讨论（0≤j≤1）：

1> x[i]=j；

2> 若总重量不大于背包容量（即cw+x[i]*w[i]<=c），则更新当前总价 br=""> 值和总重量（即cw+=w[i]*x[i],cp+=p[i]*x[i]）,
对物品i+1调用递归函

数Backtrack(i+1,cp,cw) 继续进行装载；

3> 函数Backtrack(i+1,cp,cw)调用结束后则返回当前总价值和总重量

（即 cw-=w[i]*x[i],cp-=p[i]*x[i]）；

4> 当j>1时，for循环结束；

③ 当i=1时，若已测试完所有装载方案，外层调用就全部结束；

c. 主函数调用一次backtrack(1,0,0)即可完成整个回溯搜索过程，最终得到的bestp和bestx[i]即为所求最大总价值和最优装载方案。

代码1

#include<stdio.h>
int n,c,bestp;//物品的个数，背包的容量，最大价值
int p[10000],w[10000],x[10000],bestx[10000];//物品的价值，物品的重量，x[i]暂存物品的选中情况,物品的选中情况

void Backtrack(int i,int cp,int cw)
{ //cw当前包内物品重量，cp当前包内物品价值
int j;
if(i>n)//回溯结束
{
if(cp>bestp)
{
bestp=cp;
for(i=0;i<=n;i++) bestx[i]=x[i];
}
}
else
for(j=0;j<=1;j++)
{
x[i]=j;
if(cw+x[i]*w[i]<=c)
{
cw+=w[i]*x[i];
cp+=p[i]*x[i];
Backtrack(i+1,cp,cw);
cw-=w[i]*x[i];
cp-=p[i]*x[i];
}
}
}

int main()
{
int i;
bestp=0;
printf("请输入背包最大容量:\n");
scanf("%d",&c);
printf("请输入物品个数:\n");
scanf("%d",&n);
printf("请依次输入物品的重量:\n");
for(i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&w[i]);
printf("请依次输入物品的价值:\n");
for(i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&p[i]);
Backtrack(1,0,0);
printf("最大价值为:\n");
printf("%d\n",bestp);
printf("被选中的物品依次是(0表示未选中，1表示选中)\n");
for(i=1;i<=n;i++)
printf("%d ",bestx[i]);
printf("\n");
return 0;
}

源码版本2

#include <iostream>
#define MAX_NUM 5
#define MAX_WEIGHT 10
using namespace std;

//动态规划求解
int zero_one_pack(int total_weight, int w[], int v[], int flag[], int n) {
int c[MAX_NUM+1][MAX_WEIGHT+1] = {0}; //c[i][j]表示前i个物体放入容量为j的背包获得的最大价值
// <span style="background-color: rgb(255, 0, 0);">状态转移方程：c[i][j] = max{c[i-1][j], c[i-1][j-w[i]]+v[i]}</span>
//状态转移方程的解释：第i件物品要么放，要么不放
//                 如果第i件物品不放的话,就相当于求前i-1件物体放入容量为j的背包获得的最大价值
//                 如果第i件物品放进去的话,就相当于求前i-1件物体放入容量为j-w[i]的背包获得的最大价值
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= total_weight; j++) {
if (w[i] > j) {
// 说明第i件物品大于背包的重量，放不进去
c[i][j] = c[i-1][j];
} else {
//说明第i件物品的重量小于背包的重量，所以可以选择第i件物品放还是不放
if (c[i-1][j] > v[i]+c[i-1][j-w[i]]) {
c[i][j] = c[i-1][j];
}
else {
c[i][j] =  v[i] + c[i-1][j-w[i]];
}
}
}
}

//下面求解哪个物品应该放进背包
int i = n, j = total_weight;
while (c[i][j] != 0) {
if (c[i-1][j-w[i]]+v[i] == c[i][j]) {
// 如果第i个物体在背包，那么显然去掉这个物品之后，前面i-1个物体在重量为j-w[i]的背包下价值是最大的
flag[i] = 1;
j -= w[i];
//--i; 移到外面去
}--i;
}
return c
[total_weight];
}

int main() {
int total_weight = 10;
int w[4] = {0, 3, 4, 5};
int v[4] = {0, 4, 5, 6};
int flag[4]; //flag[i][j]表示在容量为j的时候是否将第i件物品放入背包
int total_value = zero_one_pack(total_weight, w, v, flag, 3);
cout << "需要放入的物品如下" << endl;
for (int i = 1; i <= 3; i++) {
if (flag[i] == 1)
cout << i << "重量为" << w[i] << ", 价值为" << v[i] << endl;
}
cout << "总的价值为: " << total_value << endl;
return 0;
}