gcd，扩展欧几里得，中国剩余定理

1.gcd：

int gcd(int a,int b){
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

2.中国剩余定理：

题目：学生A依次给n个整数a[]，学生B相应给n个正整数m[]且两两互素，老师提出问题：有一正整数ans，对于每一对数，都有：(ans-a[i])mod m[i]=0.求此数最小为多少。

输入样例：

1
10
2
3
1 2 3
2 3 5
8
1 2 3 4 5 6 7 8
97 89 67 61 59 53 47 88
12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37
2
-2 0
999999999 1000000000
3
-10000 -20000 -30000
9999 10000 10001
0

实现代码：

#include <fstream>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib>

using namespace std;

#define EPS 1e-6
#define ll long long
#define INF 0x7fffffff

int n;
ll a[35],m[35];

ll ExtendGcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y);//扩展欧几里得
ll Crt(ll a[],ll m[],int n);//中国剩余定理

int main()
{
//freopen("D:\\input.in","r",stdin);
//freopen("D:\\output.out","w",stdout);
while(scanf("%d",&n),n){
for(int i=0;i<n;i++)    scanf("%lld",&a[i]);
for(int i=0;i<n;i++)    scanf("%lld",&m[i]);
printf("%lld\n",Crt(a,m,n));
}
return 0;
}
ll ExtendGcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if(!b){
x=1,y=0;
return a;
}else{
ll r=ExtendGcd(b,a%b,y,x);
y-=x*(a/b);
return r;
}
}
ll Crt(ll a[],ll m[],int n){
ll mm=1;
for(int i=0;i<n;i++)    mm*=m[i];
ll ret=0;
for(int i=0;i<n;i++){
ll x,y;
ll tm=mm/m[i];
ExtendGcd(tm,m[i],x,y);
ret=(ret+tm*x*a[i])%mm;
}
return (ret+mm)%mm;
}

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这里简单说下扩展欧几里得的推导：

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

证明：设 a>b。

　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

　　2，ab!=0 时

　　设 ax1+by1=gcd(a,b);

　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

　 上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

顺便提下中国剩余定理：