[BZOJ 1951][Sdoi2010]古代猪文：Lucas定理|中国剩余定理|费马小定理|扩展欧几里得

点击这里查看原题

一道综合了各种数论的神题。其实不难，主要是需要组合在一起运用。

1.费马小定理：求G^P时使用，因为G^(mod-1)%mod=1，所以需要P%=mod-1

2.Lucas定理&中国剩余定理：计算组合数取模时使用，但是本题中mod-1不为素数，因此需要结合中国剩余定理使用（即扩展Lucas定理）

3.扩展欧几里得：中国剩余定理要求逆元

/*
User:Small
Language:C++
Problem No.:1951
*/
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 999999999
using namespace std;
const ll mod=999911659;
ll n,g,prime[5]={0,2,3,4679,35617},a[5];
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if(b==0){
x=1;
y=0;
return a;
}
ll d=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return d;
}
ll crt(ll a[],ll m[],int n){
ll M=1,res=0;
for(int i=1;i<=n;i++) M*=m[i];
for(int i=1;i<=n;i++){
ll Mi=M/m[i],x,y;
exgcd(Mi,m[i],x,y);
res=(res+a[i]*Mi*x)%M;
}
return (res%M+M)%M;
}
ll pow(ll a,ll b,ll p){
ll res=1;
while(b){
if(b&1LL) res=res*a%p;
a=a*a%p;
b>>=1LL;
}
return res;
}
ll c(ll n,ll m,ll p){
if(n<m) return 0;
if(n==m) return 1;
if(m>n-m) m=n-m;
ll res,cn,cm;
res=cn=cm=1;
for(int i=0;i<m;i++){
cn=cn*(n-i)%p;
cm=cm*(m-i)%p;
}
res=cn*pow(cm,p-2,p)%p;
return res;
}
ll lucas(ll n,ll m,ll p){
ll ans=1;
while(n&&m&&ans){
ans=ans*c(n%p,m%p,p)%p;
n/=p;
m/=p;
}
return ans;
}
ll cal(ll n){
for(ll i=1;i*i<=n;i++){
if(n%i==0){
ll tmp=n/i;
for(int j=1;j<=4;j++){
if(tmp!=i) a[j]=(a[j]+lucas(n,tmp,prime[j]))%prime[j];
a[j]=(a[j]+lucas(n,i,prime[j]))%prime[j];
}
}
}
return crt(a,prime,4);
}
int main(){
freopen("data.in","r",stdin);//
scanf("%lld%lld",&n,&g);
if(g==mod) printf("0\n");
else printf("%lld\n",pow(g,cal(n),mod));
return 0;
}