动态规划 背包问题

问题描述

问题具体化

解决过程

完整代码

程序结果截图

问题描述

有n个物体有重量和价值两个属性，一个能承重一定重量的背包。问怎么选择物体能实现背包里的价值最大化。

问题具体化

假设有5个物体和一个背包。物体的重量分别是2、2、6、5、4，即w[]={0、2、2、6、5、4}，价值分别是6、3、5、4、6，即v[]={0、6、3、5、4、6}。背包承重为10。问怎么选择，能实现背包所背物体价值的最大化。

解决过程

利用二维表格，通过自左向右、自下向上的计算，来绘制表格，左后再在表格的基础上选择最优解。

表格最后一行

对最后一行的物体4来说，只有两种情况，要么装入背包，要么不装入。物体5的的重量是4。也就是说在背包承重为0–3的时候物体5是装不进去的，所以背包为0，当背包承重为4–10的时候，物体5可以装进去，又因为物体5的价值为6，所以背包价值为6。

.	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1
2
3
4
5	0	0	0	0	6	6	6	6	6	6	6

表格倒数第二行

表格倒数第二行的计算思路与倒数第一不一样，因为我们要考虑背包里已经有的物体。因为物体4的重量为5。所以在背包承重为0–4的情况下即使空包也装不进去，所以不能装入，包里原本是多少价值，就还是多少价值。在背包承重为5–8的时候，物体4可以装进去，但是物体5要拿出来才行，这样的话背包的价值就变成4了，小于6。所以能然选择不把物体4放进去。在背包承重为9–10的时候，两个都可以放进去，所以背包的价值变成10了。

.	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1
2
3
4	0	0	0	0	6	6	6	6	6	10	10
5	0	0	0	0	6	6	6	6	6	6	6

最终计算出来的表格

其他行的计算过程同上，最终结果如下。

.	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0	0	6	6	9	9	12	12	15	15	15
2	0	0	3	3	6	6	9	9	9	10	11
3	0	0	0	0	6	6	6	6	6	10	11
4	0	0	0	0	6	6	6	6	6	10	10
5	0	0	0	0	6	6	6	6	6	6	6

*表格计算公式

max( m(i+1,j) , m(i+1,j-wi)+vi )

做出最优选择

大体思想：我们从右上角（坐标（1,10））开始，看（1,10）与（2,10）的值是不是一样，一样，则说明物体1没装进去，不一样，则说明物体1装进去了。

void opt_way(int flag[],int w[], int table[num][weight])

{

int n = weight-1;

for (size_t i = 0; i < num; i++)

{

if (table[i]
==table[i+1]
)

{

flag[i] = 0;

}

else

{

flag[i] = 1;

n = n - w[i+1];

}

}

}

完整代码

#include <iostream>
#define num 5
#define weight  11
using namespace std;

void init_table(int table[num][weight])
{
for (size_t i = 0; i < num; i++)
{
for (size_t j = 0; j < weight; j++)
{
table[i][j] = 0;
}
}

}
void show_table(int table[num][weight])
{
for (size_t i = 0; i < num; i++)
{
for (size_t j = 0; j < weight; j++)
{
cout <<table[i][j] << "\t";
}
cout << "\n";
}

}
void creat_table(int table[num][weight],int w[],int v[])
{
//给最后一行赋初值
for (size_t i = 0; i < weight; i++)
{
if (w[num] > i)
table[num - 1][i] = 0;
else
{
table[num - 1][i] = v[num];
}
}
//在最后一行基础上给每行赋值
for (int i = num - 1; i > 0; i--)
{
for (int j = 0; j < weight; j++)
{
if (w[i]>j)
{
table[i - 1][j] = table[i][j];
}
else if ((v[i] + table[i][j-w[i]])>table[i][j])
{
table[i-1][j] = v[i] + table[i ][j - w[i]];
}
else
{
table[i-1][j] = table[i][j];
}
}
}

}

void opt_way(int flag[],int w[], int table[num][weight])
{
int n = weight-1;
for (size_t i = 0; i < num; i++)
{
if (table[i]
==table[i+1]
)
{
flag[i] = 0;
}
else
{
flag[i] = 1;
n = n - w[i+1];
}
}

}
int main()
{
int w[num+1] = {0,2,2,6,5,4};
int  v[num+1]= {0,6,3,5,4,6};
int flag[num] = { 0, 0, 0, 0, 0 };
int table[num][weight];
init_table(table);
creat_table(table,w,v);
opt_way(flag,w,table);
//----------------
show_table(table);
//------------------------------
for (size_t i = 0; i < num; i++)
{
cout << flag[i];
}
getchar();
return 0;
}

程序结果截图

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