【工程优化】最优化算法--牛顿法、阻尼牛顿法及单纯形法

牛顿法

使用条件：目标函数具有二阶导数，且海塞矩阵正定。

优缺点： 收敛速度快、计算量大、很依赖初始点的选择。

算法的基本步骤：

算法流程图：

阻尼牛顿法

与牛顿法基本相同，只是加入了一维精确搜索：



优缺点：改善了局部收敛性。

我们假设要求f=(x-1)*(x-1)+y*y的最小值，具体算法实现如下，只需要运行NTTest.m文件，其它函数文件放在同一目录下即可：

1、脚本文件NTTest.m

clear all
clc

syms x y
f=(x-1)*(x-1)+y*y;
var=[x y];
x0=[1 1];eps=0.000001;

disp('牛顿法:')
minNT(f,x0,var,eps)

disp('阻尼牛顿法:')
minMNT(f,x0,var,eps)

2、minNT.m

function [x,minf]=minNT(f,x0,var,eps)
%目标函数：f
%初始点：x0
%自变量向量：var
%精度：eps
%目标函数取最小值时的自变量值：x;
%目标函数的最小值：minf

format long;
if nargin==3
eps=1.0e-6;
end
tol=1;
syms L
% x0=transpose(x0);
while tol>eps %不满足精度要求
gradf=jacobian(f,var);      %梯度方向
jacf=jacobian(gradf,var);   %雅克比矩阵
v=Funval(gradf,var,x0);%梯度的数值解
tol=norm(v);%计算梯度（即一阶导）的大小
pv=Funval(jacf,var,x0);%二阶导的数值解
p=-inv(pv)*transpose(v);    %搜索方向
x1=x0+p';%进行迭代
x0=x1;
end

x=x1;
minf=Funval(f,var,x);
format short;

3、minMNT.m

function [x,minf]=minMNT(f,x0,var,eps)
%目标函数：f
%初始点：x0
%自变量向量：var
%精度：eps
%目标函数取最小值时的自变量值：x;
%目标函数的最小值：minf

format long;
if nargin==3
eps=1.0e-6;
end
tol=1;
syms L
% x0=transpose(x0);
while tol>eps %不满足精度要求
gradf=jacobian(f,var);      %梯度方向
jacf=jacobian(gradf,var);   %雅克比矩阵
v=Funval(gradf,var,x0);%梯度的数值解
tol=norm(v);%计算梯度（即一阶导）的大小
pv=Funval(jacf,var,x0);%二阶导的数值解
p=-inv(pv)*transpose(v);    %搜索方向
%%%%寻找最佳步长%%%
y=x0+L*p';
yf=Funval(f,var,y);
[a,b]=minJT(yf,0,0.1);
xm=minHJ(yf,a,b);           %黄金分割法进行一维搜索最佳步长
x1=x0+xm*p';%进行迭代
x0=x1;

end

x=double(x1);
minf=double(Funval(f,var,x));
format short;

4、minHJ.m

function [x,minf]=minHJ(f,a,b,eps)
%目标函数：f
%极值区间左端点：a
%极值区间右端点：b
%精度：eps
%目标函数取最小值时自变量的值：x
%目标函数所取的最小值：minf

format long;
if nargin==3
eps=1.0e-6;
end

l=a+0.382*(b-a);            %试探点
u=a+0.618*(b-a);            %试探点
k=1;
tol=b-a;

while tol>eps&&k<100000
fl=subs(f,findsym(f),l);        %试探点函数值
fu=subs(f,findsym(f),u);        %试探点函数值
if fl>fu
a=1;                        %改变区间左端点
l=u;
u=a+0.618*(b-a);            %缩短搜索区间
else
b=u;                        %改变区间右端点
u=l;
l=a+0.382*(b-a);             %缩短搜索区间
end
k=k+1;
tol=abs(b-a);
end
if k==100000
disp('找不到最小值！');
x=NaN;
minf=NaN;
return;
end
x=(a+b)/2;
minf=subs(f,findsym(f),x);
format short;

5、minJT.m

function [minx,maxx]=minJT(f,x0,h0,eps)
%目标函数：f
%初始点：x0
%初始步长：h0
%精度：eps
%目标函数取包含极值的区间左端点：minx
%目标函数取包含极值的区间右端点：maxx

format long
if nargin==3
eps=1.0e-6;
end

x1=x0;
k=0;
h=h0;
while 1
x4=x1+h;        %试探步
k=k+1;
f4=subs(f,findsym(f),x4);
f1=subs(f,findsym(f),x1);
if f4<f1
x2=x1;
x1=x4;
f2=f1;
f1=f4;
h=2*h;      %加大步长
else
if k==1
h=-h;   %方向搜索
x2=x4;
f2=f4;
else
x3=x2;
x2=x1;
x1=x4;
break;
end
end
end

minx=min(x1,x3);
maxx=x1+x3-minx;
format short;

6、Funval.m

function fv=Funval(f,varvec,varval)
var=findsym(f);
varc=findsym(varvec);
s1=length(var);
s2=length(varc);
m=floor((s1-1)/3+1);
varv=zeros(1,m);
if s1~=s2
for i=0:((s1-1)/3)
k=findstr(varc,var(3*i+1));
index=(k-1)/3;
varv(i+1)=varval(index+1);
end
fv=subs(f,var,varv);
else
fv=subs(f,varvec,varval);
end

运行结果如下图：

单纯形法

单纯形法的理论还有点复杂，而本文主要针对算法的基本实现，因此，理论部分就此略过，详情可以参考网上的相关资料。下面给出具体的实现：

我们以具体实例来说明：



具体的Matlab实现如下：

1、脚本文件：

clear all
clc
% A=[2 2 1 0 0 0
%    1 2 0 1 0 0
%    4 0 0 0 1 0
%    0 4 0 0 0 1];
% c=[-2 -3 0 0 0 0];
% b=[12 8 16 12]';
% baseVector=[3 4 5 6];

A=[1 1 -2 1 0 0
2 -1 4 0 1 0
-1 2 -4 0 0 1];
c=[1 -2 1 0 0 0];
b=[12 8 4]';
baseVector=[4 5 6];

[x y]=ModifSimpleMthd(A,c,b,baseVector)

2、ModifSimpleMthd.m文件

function [x,minf]=ModifSimpleMthd(A,c,b,baseVector)
%约束矩阵：A
%目标函数系数向量：c
%约束右端向量：b
%初始基向量：baseVector
%目标函数取最小值时的自变量值：x
%目标函数的最小值：minf

sz=size(A);
nVia=sz(2);
n=sz(1);
xx=1:nVia;
nobase=zeros(1,1);
m=1;

if c>=0
vr=find(c~=0,1,'last');
rgv=inv(A(:,(nVia-n+1):nVia))*b;
if rgv>=0
x=zeros(1,vr);
minf=0;
else
disp('不存在最优解');
x=NaN;
minf=NaN;
return;
end
end

for i=1:nVia            %获取非基变量下标
if(isempty(find(baseVector==xx(i),1)))
nobase(m)=i;
m=m+1;
else
;
end
end

bCon=1;
M=0;
B=A(:,baseVector);
invB=inv(B);

while bCon
nB=A(:,nobase);         %非基变量矩阵
ncb=c(nobase);          %非基变量系数
B=A(:,baseVector);      %基变量矩阵
cb=c(baseVector);       %基变量系数
xb=invB*b;
f=cb*xb;
w=cb*invB;

for i=1:length(nobase)  %判别
sigma(i)=w*nB(:,i)-ncb(i);
end
[maxs,ind]=max(sigma);  %ind为进基变量下标
if maxs<=0              %最大值小于零，输出解最优
minf=cb*xb;
vr=find(c~=0,1,'last');
for l=1:vr
ele=find(baseVector==l,1);
if(isempty(ele))
x(l)=0;
else
x(l)=xb(ele);
end
end
bCon=0;
else
y=inv(B)*A(:,nobase(ind));
if y<=0             %不存在最优解
disp('不存在最优解！');
x=NaN;
minf=NaN;
return;
else
minb=inf;
chagB=0;
for j=1:length(y)
if y(j)>0
bz=xb(j)/y(j);
if bz<minb
minb=bz;
chagB=j;
end
end
end                     %chagB为基变量下标
tmp=baseVector(chagB);  %更新基矩阵和非基矩阵
baseVector(chagB)=nobase(ind);
nobase(ind)=tmp;

for j=1:chagB-1         %基变量矩阵的逆矩阵变换
if y(j)~=0
invB(j,:)=invB(j,:)-invB(chagB,:)*y(j)/y(chagB);
end
end
for j=chagB+1:length(y)
if y(j)~=0
invB(j,:)=invB(j,:)-invB(chagB,:)*y(j)/y(chagB);
end
end
invB(chagB,:)=invB(chagB,:)/y(chagB);

end
end
M=M+1;
if(M==1000000)               %迭代步数限制
disp('找不到最优解！');
x=NaN;
minf=NaN;
return;
end
end

运行结果如下图：



关于最优化的更多算法实现，请访问http://download.csdn.net/detail/tengweitw/8434549，里面有每个算法的索引说明，当然也包括上述算法。

原文：http://blog.csdn.net/tengweitw/article/details/43669185
作者：nineheadedbird