BZOJ 1263 SCOI2006 整数划分 高精度

题目大意：给定一个数n，要求将n划分成一些正整数的和，使这些正整数的乘积最大

结论：

如果n是3的倍数 那么将n划分成n/3个3是最优的

如果n是3的倍数+1 那么将n划分成(n-4)/3个3和两个2是最优的

如果n是3的倍数+2 那么将n划分成(n-2)/3个3和1个2是最优的

证明是有的

考虑不是划分成整数，而是划分成任意实数

设我们将n划分成了x个正实数之和

易知当这x个数相等时答案是最优的

那么每个数都是n/x，答案是(n/x)^x

设y=(n/x)^x

则有lny=x[ln(n)-ln(x)]

两侧求导可得y'=(n/x)^x * ( ln(n) - ln(x) - 1 )

当x=n/e时y‘取0 此时乘积最大

因此每个数要尽量靠近e才能使答案最大

现在考虑整数 离e最近的整数是3 因此要把n尽量分成3 不足的用2补齐 这样可以保证是最优的。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define M 5050
using namespace std;
struct Int{
	int xx[M],cnt;
	Int(int x)
	{
		xx[cnt=1]=x;
	}
	void operator *= (int x)
	{
		int i;
		for(i=1;i<=cnt;i++)
			xx[i]*=x;
		for(i=1;i<=cnt;i++)
			xx[i+1]+=xx[i]/10,xx[i]%=10;
		if(xx[cnt+1]) ++cnt;
	}
}ans(1);
int n;
int main()
{
	int i;
	cin>>n;
	switch(n%3)
	{
		case 0:
			for(i=3;i<=n;i+=3)
				ans*=3;
			break;
		case 1:
			for(i=7;i<=n;i+=3)
				ans*=3;
			ans*=4;
			break;
		case 2:
			for(i=5;i<=n;i+=3)
				ans*=3;
			ans*=2;
			break;
	}
	cout<<ans.cnt<<endl;
	for(i=ans.cnt;i&&i>ans.cnt-100;i--)
		printf("%d",ans.xx[i]);
	return puts(""),0;
}