数学建模学习笔记（第一章：建立数学模型）

第一章：建立数学模型

1. 常见模型：是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象，提炼出来的原型的替代物。其集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。

实物模型：玩具、照片、飞机、火箭；

物理模型：水箱中的舰艇、风洞中的飞机；

符号模型：地图、电路图、分子结构图。

2. 建立数学模型的基本步骤：以航海为例

a) 做出简化假设：船速、水速为常数；

b) 模型构成：用符号表示有关量：x，y表示船速和水速；

发挥想象力、使用类比法，机娘采用简单的数学工具。

c) 用物理定律列出数学式子：二元一次方程；（可能伴随模型的参数估计）

有时模型有未知参数，这时需要使用各种数学方法、数学软件和计算机技术进行模型求解；

之后还要进行模型分析：如误差分析、模型对数据的稳定性分析等；

模型检验：与实际现象、数据比较，检验模型的合理性。

d) 求解得到数学解答；

e) 回答原问题：船速每小时20千米。

3. 数学模型与数学建模

数学模型：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。

数学建模：建立数学模型的全过程。（包括表述、求解、解释、检验等）

4. 数学建模的具体应用

a) 分析与设计：椅子在不平的地面上能放稳吗？

b) 预报与决策：如何预报人口的增长？使用现成模型、确定模型参数、模型检验、模型应用（即进行人口预报）。

c) 控制与优化

d) 规划与管理：商人们怎样安全过河？

5. 数学建模的基本方法：

机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律；

测试分析：将研究对象看做“黑箱”，通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型。

一般情况下，需要进行机理分析建模，并通过测试分析确定模型参数。